高考中函数图像的识与用

2018-10-19河南省安阳市第三中学张玉宝

中学生数理化(高中版.高考数学) 2018年9期

■河南省安阳市第三中学张玉宝

通过研究近几年的高考试题发现,函数图像的考查已成为高考命题的重点内容。有直接给出函数图像供选的,也有间接利用函数图像求解的。前者大多以选择题的形式出现,后者通常是选择或填空题的最后一题。这种形式,不仅考查了函数的概念和性质,以及其中所蕴含的转化、函数与方程、数形结合等数学思想,而且体现了数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养。本文从函数图像的识与用两方面进行论证分析,以诠释函数图像在解题中的魅力,旨在抛砖引玉,引起大家对函数图像作用的认识和重视。

一、函数图像的识

题型1——已知函数解析式,识别对应函数的图像

图1

点拨:本题通过奇函数的定义研究函数的奇偶性并利用奇偶函数的图像特征排除选项A,紧接着利用图中的已知信息,从(1,1)点入手,通过估算f(1)的大小排除C,D,从而确定选项B。

小结：这类题型的解法思路为:

(1)简单基本初等函数,直接对口选图。

(2)两域看x,y。定义域看x,即图像的左与右,值域看y,即图像的上与下。

(3)奇偶性看对称。奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。

(4)单调性看升降。增函数图像上升,减函数图像下降。

(5)周期性看反复。周期是几,图像就会隔几重复出现。

(6)图中看数据。一般来说,图中都会出现一些已知的数据,如x,y轴上标出的数字,这些都是关键信息。通常需要注意的是图像与坐标轴的交点、拐点、最高(低)点等特殊点,利用特殊点排除选项。这些点如果用得好,往往会成为解题的突破口,让解题势如破竹,柳暗花明。

题型2——已知函数图像,求函数解析式或性质

例2 函数y=As i n(ω x+φ)的部分图像如图2所示,则( )。

图2

小结：这类题型的解法思路为:

(2)根据最值点或函数的零点之间的距离确定周期T的值,如函数的两个相邻的零邻的最高点与最低点间邻的两个最高(或最低)点间的距离为T。

(4)求出函数的解析式后,可能会接着考查函数的一些性质,如单调区间、周期、最大(小)值等。

题型3——已知一个函数的图像,找出另一个函数的图像

例3 函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像如图3所示,则函数y=f(x)的图像可能是图4中的( )。

图3

图4

解析：观察导函数y=f'(x)的图像可知,f'(x)的图像在x轴上有三个零点,从左到右分别设为a,b,c,且a＜0＜b＜c,当x＜a时,f'(x)＜0,原函数图像下降;当x∈(a,b)时,f'(x)＞0,原函数图像上升;当x∈(b,c)时,f'(x)＜0,原函数图像下降;当x∈(c,+∞)时,f'(x)＞0,原函数图像上升。因此,y=f(x)的大致图像是降→升→降→升,排除A,C。又y=f(x)的极大值点b为正可知,B不符合。故选D。

点拨:本题从已知导函数的零点出发找极值点,看x轴上方的图像f'(x)＞0,原函数图像上升,看x轴下方的图像f'(x)＜0,原函数图像下降,然后据此画出原函数的大致图像,再结合极值点的正负确定选项D。

小结：这类题型的解法思路为:

(1)已知导函数图像找原函数图像。对于导函数图像,主要看导函数的零点,即其与x轴的交点x0,且图像在x0两侧附近连续分布于x轴上下方,则x0为原函数图像的极值点。这里,以导数为工具来讨论函数的单调性时,由导函数f'(x)的正负,得出原函数f(x)的单调区间。故f'(x)＞0时,原函数单调增,图像上升,f'(x)＜0时,原函数单调减,图像下降。

(2)已知原函数图像找导函数图像。原函数图像主要看其升降的“拐点”,图像上升,原函数的导函数值为正,其导函数的图像在x轴的上方;图像下降,原函数的导函数值为负,其导函数的图像在x轴的下方。