数学中“数”的对称美

■河南省信阳市第一高级中学 王海广

生活中处处有数学,数学中处处存在美。数的美,形的美,对称的美……其中,对称美是自然界中一种普遍存在的而又奇妙有趣的现象,能给人以整齐、沉静、稳重、和谐的感觉。

“河出图,洛出书,圣人则之。”相传,在上古伏羲氏时代,洛阳东北孟津县境内的黄河里跃出一匹龙马,龙马背上驮了一幅图,献给伏羲,图上有黑白点5 5个,用直线连接起来表示1 0个数(如图1),后人称之为“河图”,伏羲依此而演绎出八卦。又相传,在公元前2 3世纪大禹治水之时,在黄河支流洛水中,浮现一只巨龟,背上有9种花点的图案(如图2),献给大禹,后人称之为“洛书”。

图1

图2

分析河图洛书,不难看出,这两幅图具有数的简单性和对称性这两个明显特点。

第一,数的简单性:数的特点直接而又形象地包含在河图洛书之中,两图中黑点组成的数都是偶数(古代称阴数),白点组成的数是奇数(古代称阳数)。河图含有1至1 0共1 0个自然数,洛书含有1至9共9个自然数。因此,数的简单性是河图洛书的基本特点之一。

第二,数的对称性:河图洛书的结构对称,河图以两个数字为一组,分成五组,以[5,1 0]居中,其余四组[7,2]、[9,4]、[6,1]、[8,3]依次均匀分布在四周;洛书,以数5居中,其余八个数均匀分布在八个方位,尤其是纵、横、对角线上的三个数之和均等于1 5的特点,使其成为我国古代都城的规划模式。

太极图的对称美还可以解释现实生活中许多数学中“数”的问题:宇宙中有你,同样也存在着“反你”,如果有一天“你们”一握手,那么你和“反你”就顿时消失,就像1+(-1)=0一样。这种设想在解答一些难题时,就显得巧妙、易懂。例如,等差数列求和时,大都用公式:(首项+末项)×项数÷2来计算。如一道“有女不善织”的古代算术题:有位妇女不善织布,她每天织的布都比上一天要减少一些,减少的数量是相等的,她第一天织了5尺,最后一天织了1尺,一共织了3 0天,她一共织了多少尺布?这题的难点在于除了第一天和最后一天,中间每天织的布不是整数,而且每天比上一天少织多少布也不易求。可运用对称的思想来解答:假设还有另一位姑娘也和这位妇女一样织布,只不过她与这位妇女织布的情况刚好相反:姑娘每天织的布都比上一天要增加一些,增加的数量是相等的,她第一天织1尺,最后一天织5尺,也织了3 0天,由此可知,姑娘和妇女所织布的总长度是相等的,妇女所织的布每天减少的数量与姑娘织的布每天增加的数量是相等的,因此每天两人共织的布为6尺,3 0天共织6×3 0尺=1 8 0尺,每人织9 0尺。

另外,古人经过特定乘法运算,发现“回文数”。这些回文数呈现出更奇特的对称,例如1×1=1、1 1×1 1=1 2 1、1 1 1×1 1 1=1 23 2 1、11 1 1×11 1 1=12 3 43 2 1,根据这一规律可以简捷地巧算出1 1 1 1 1 1 1 1 1×1 1 11 1 11 1 1=1 23 4 56 7 89 8 76 5 43 2 1。古人观之,大都非常惊讶,对此产生浓厚兴趣,感叹数的对称美。

“对称”在数学上的表现是普遍的:轴对称、中心对称、对称多项式等。从奇偶性上看,奇、偶数可以视为对称,从运算关系角度看,互逆运算也可看为对称关系。在数学中,还有许许多多的地方都能体现出对称的魅力,正如亚里士多德所言:虽然数学没有明显地提到善和美,但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性,而这些正是数学所研究的原则。