数学图形中的形态美

■河南省信阳高级中学 王世元

数学不仅研究数字组合、运算等代数问题,而且还研究图形计算、变换等几何问题。在几何计算问题中,图形除了规则图形(如直角三角形、正方形、圆等),还有很多不同的组合图形。在近几年的全国高考数学试题中,就有相应的体现。

图1

例1 (2 0 1 8年全国Ⅰ卷1 0)图1来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为R t△A B C的斜边B C,直角边A B,A C。△A B C的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则 ( )。

表面上看,此题是一个几何概率计算,实质上是几个规则平面图形叠加后的面积计算问题。然而退出数学视野之后,这个图案从形态上讲就具有很美的近似对称,给人们一种抽象的美感。

例2 (2 0 1 7年全国Ⅰ卷2)如图2,正方形A B C D内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )。

太极图是研究周易学原理的一张重要的图像。太有至的意思,极有极限之义,就是至于极限,无有相匹之意。既包括了至极之理,也包括了至大至小的时空极限,放之则弥六合,卷之退藏于心。可以大于任意量而不能超越圆周和空间,也可以小于任意量而不等于零或无。简洁的几何图案中汇集着深邃的数学思想和哲学道理,无不让人感叹至深。

图2

世界数学中许许多多抽象的图形只要被发现、研究和理解,都可以转化为仅存于世的数学文化真迹,常见于选拔性数学文化试题或应用于实际的生产与生活中,给人们以抽象的艺术美感。

跟踪练习：

1.求出图3～图6中阴影部分的面积表达式。

图3

图4

图5

图6

2.图7所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现。我们来重温这个伟大的发现,圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )。

图7

答案解析：

图8

(2)如图9,S阴影=S扇形ABE-S扇形MBN。

图9

(3)如 图 1 0,S阴影=S半圆AC+S半圆BCS△A C B。

图1 0

(4)如图1 1,S阴影=S正方形PCQE。

图1 1

2.设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,所以V圆柱=πR2×2R=2 πR3,

S圆柱=2 πR×2R+2×πR2=6 πR2,S球=

故选C。