聚焦导数与微积分知识中的易错点

2018-10-19河南省光山县第二高级中学李枝伦

中学生数理化(高中版.高考数学) 2018年9期

■河南省光山县第二高级中学李枝伦

导数是研究函数的工具,为我们解决函数有关问题提供了有效方法,微积分对曲边梯形求面积提供了一般性的解法。因此,导数知识是中学数学的重要基础知识之一,是高考必考的知识点。一些同学由于对这方面知识的理解不够深入和准确,在解决问题时容易出现错误。

易错点1——对导数的定义理解不透彻

例 1 设f'(x0)存在,求

提醒：在导数的定义中,增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy必须选择相应的形式,即增量一致。解此类问题时,要注意表达式的结构特点,Δx可以为正,也可以为负,但在导数的极限定义式中,分子与分母中Δx的系数是一致的。几种等价形式如下:

易错点2——求复合函数的导数时分不清函数的层次

提醒：对复合函数的求导,易出错的原因就是不能将函数的复合层次弄清楚,造成求导不彻底。复合函数求导的关键在于分清函数的复合关系,适当选定中间变量分步求导,特别注意对哪个变量求导。

易错点3——求单调区间时忽视定义域

例3 求函数f(x)=3x2-2 l nx的单调区间。

正解：可以看出,上述解法思路是正确的,但是在求解的过程中却忽视了函数的定义域(0,+∞),所以函数f(x)的单调递增区

提醒：定义域是函数存在的基础,脱离定义域函数是没有意义的,因此解函数问题时对定义域要优先考虑。同时还要注意,在写单调区间时,如果有多个不连续单调区间时,不能用并的符号“∪”连接,要用“和”连接。

易错点4——对导数与函数单调性的充分必要条件理解不清

例4 已知函数f(x)=k x3-x2+

错解:由已知可得f'(x)=3k x2-2x+一切x∈R,都有f'(x)＞0,即值范围是(1,+∞)。

提醒：f'(x)在某区间上恒大(小)于0只是f(x)在该区间上单调递增(减)的充分非必要条件,并不是充要条件,因此函数f(x)在某个区间上是单调增(减)函数,则它的导函数f'(x)在该区间上大于(小于)或等于0。

易错点5——混淆曲线上某点处的切线与过曲线某点的切线

例5 已知曲线y=x3,则过点(1,1)的

错解:因为y'=3x2,所以切线的斜率k=3,因此切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0。

提醒：求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)是切点且在曲线上,切线的斜率为k=f'(x0),有唯一的切线。求曲线y=f(x)过某点P(x0,y0)处的切线方程,切线经过点P,但曲线不一定经过点P,所以点P可能是切点,也可能不是切点,这样的直线可能有多条。因此,求曲线的切线问题时,首先要区分是什么类型的切线,否则很容易漏解。

易错点6——分不清给定的某个区间是函数的单调区间本身还是其子集

例6 若函数f(x)=l o ga(x3-a x)

令g(x)=x3-a x,则g'(x)=3x2-a。

当a＞1时,f(x)的单调递增区间为

提醒：没有区分“函数f(x)的单调增区间是A”和“函数f(x)在区间A上是增函数”。前者是一个确定的值,后者是一个取值范围。

易错点7——误认为导数为零的点就是极值点

例7 若函数f(x)=x4-a x3+x2-2有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围

错解:f'(x)=4x3-3a x2+2x=x(4x2-3a x+2)。

因为f(x)有且仅有一个极值点且f'(x)=0,所以4x2-3a x+2=0无解。

因此Δ=9a2-3 2＜0,解

正解：当方程4x2-3a x+2=0有两个相等实数根时,则有Δ=9a2-3 2=0,即a=值的判定易知f(x)也只有一个极值点,所以

提醒：错将f'(x0)=0作为f(x)在点x0处取得极值的充要条件。事实上,f'(x0)=0是f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件。反例y=x3在x=0时,没有极值。原因是在x=0的左右两侧导数同号,只有它的两侧导数异号时它才是函数的极值点。因此f(x)有且仅有一个极值点并不等价于f'(x0)=0有且仅有一个实数根。