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一类脉冲系统的Melnikov函数构造方法及其应用

2018-10-17牛玉俊胡双年吴宏锷

关键词:正确性流形定点

牛玉俊,胡双年,吴宏锷

(南阳理工学院 数学与统计学院, 河南 南阳 473004)

0 引言

脉冲系统广泛存在于生产生活和科学研究中,例如脉冲给药、定时捕捞、激光脉冲系统以及脉冲控制等,近年来引起了众多学者的注意[1-10].脉冲现象的存在会导致系统的运动状态发生突然改变,从而致使系统的向量场不再光滑,因此常用的光滑非线性系统的分析方法不能直接应用到脉冲系统[11],其中非线性系统研究中重要的Melnikov方法,在脉冲系统中尚未得到系统地研究.

由于脉冲系统是一种特殊碰撞系统,因此碰撞系统的研究方法对脉冲系统的研究具有重要的借鉴意义.在碰撞系统的研究中,XU等[11]研究了一类碰撞系统的Melnikov函数,并将该方法应用到双边碰撞Duffing系统的混沌预测中去. TIAN等[12-15]研究了几个多碰撞系统Melnikov函数,并给出了数值模拟,取得了较好的效果.

本文将在文献[11-15]的基础上,考察定点脉冲系统Melnikov函数的构造方法,给出一种定点脉冲系统Menikov函数的解析表达式,并将函数应用到脉冲信号作用下Duffing系统的混沌预测中去,得到了该类型脉冲系统出现混沌的解析条件,并通过数值模拟验证了理论结果的正确性及有效性.

1 定点脉冲系统的Melnikov方法

定点脉冲系统可表示为如下形式:

(1)

其中:x0为脉冲发生的位置;y-、y+分别表示脉冲发生前、后y的状态;X=(x,y)T,F(X)=(y,f(X))T;G(X,t)=(0,g(X,t))T.系统(1)的示意图如图1所示.

当ε=0时,可得未扰系统(2):

(2)

设Xh(t)=(xh(t),yh(t))T是未扰系统(2)的同宿轨,扰动系统(1)的非光滑同宿轨为

Tε,h,±=Th,±+εTh,1,±+o(ε2),

(3)

(4)

G(Xh(t),t+t0).

图1 系统(1)示意图Fig. 1 Diagrammatic sketch of system (1)

类似于光滑系统的推导,考虑如下式子:

其中算符Λ定义为:

aΛb=a1b2-a2b1,a=(a1,a2)T,b=(b1,b2)T.

类似于光滑系统的推导,对任意的t≠Tε,h,-,有

则稳定流形与不稳定流形之间的距离为

(5)

由著名的光滑系统的Melnikov方法[11],可得

(6)

(7)

(8)

首先,由式(3)和式(4)可知,

(9)

代入式(9)得

(10)

且由

可知

(11)

(12)

同样的方法可得,

(13)

同时

F(Xh(Th,+))ΛXh(Th,+)-

F(Xh(Th,-))ΛXh(Th,-)+

(14)

其中

F(Xh(Th,+))ΛXh(Th,+)-F(Xh(Th,-))ΛXh(Th,-)=

(yh(Th,+))2-Xh(Th,+)f(Xh(Th,+))-

(yh(Th,-))2+Xh(Th,-)f(Xh(Th,-))=0.

结合式(12)和式(13),有

(15)

且由系统(1)中的脉冲条件可知

(16)

(17)

其中

yh(Tε,h,+)=yh(Th,++εTh,1,++o(ε2))=

yh(Th,+)+εTh,1,+f(Xh(Th,+))+o(ε2),

(18)

(19)

将式(18)和(19)代入式(17)得

εTh,+f(Xh(Th,+))+o(ε2) .

(20)

同理可得

εTh,-f(Xh(Th,-))+o(ε2) .

(21)

由式(15)可得

-εα(yh(Th,-))2+o(ε2).

(22)

当t=Th,-时,Xh(t)=x0,且有

dXh(t)=yh(t)dt,dyh(t)=f(Xh(t))dt,

故有

2f(Xh(t))dXh(t),

从而

(23)

由式(22)知道

(24)

从而由式(5)-(8)及式(24)可知

(25)

(26)

基于上述分析,给出系统(1)的Melnikov定理如下:

定理对系统(1)及充分小的ε,系统(1)的一阶Melnikov函数为式(26).若式(26)出现简单零点,即若存t0使得M(t0)=0,M′(t0)=0,则系统(1)可能出现Smale马蹄意义下的混沌.

2 定点脉冲信号作用下Duffing系统的混沌预测

为验证上面得到的Melnikov函数的有效性,考察如下定点脉冲系统:

(27)

其中

X=(x,y)T,F(X)=(y,bx-cx3)T,

G(X,t)=(0,-ay+rcos(ωt))T.

当ε=0时,该系统是一个未扰系统,可表示为如下形式:

(28)

其中

系统(28)为一个Hamilton系统,对应的Hamilton函数为

其中

设Th,+=-Th,-=T0,则

对未扰系统(28),当参数取b=1、c=1、x0=1时,未扰系统(28)的相图如图2所示.从图2中可以看出,系统存在同宿周期轨.

图2 系统(28)的相图Fig. 2 Phase portrait of system (28)

由式(26)可知,系统(27)的Melnikov函数为

令M(t0)=0,可得

r=

rα=

当取a=1.05、b=1、c=1、T0=0.98、ω=1、x0=1时,通过数值积分可得

rα=1.9814+0.6485α.

(29)

由Melnikov定理知道,则当r>rα时,系统(27)的稳定流形与不稳定流形会横截相交,系统(27)会出现Smale马蹄意义下的混沌.图3给出了混沌阈值图.

图3的直线上方的参数组合满足关系式r>rα,该部分出现的参数组合会导致系统(27)的稳定流形和不稳定流形横截相交,从而出现Smale马蹄意义下的混沌.反之,在该线之下的参数组合,将不能使系统(27)的稳定流形和不稳定流形相交,不会出现混沌.为验证上述理论判断的正确性,取a=2、b=1、c=1、ω=1、x0=1,画出参数r和y的分岔图,如图4所示.从图4中可以明显地看出,系统(27)有周期1运动、混沌等典型非线性现象.

图3 混沌阈值图Fig. 3 Chaotic threshold portrait

图4 系统(27)的分岔图Fig. 4 Bifurcation diagram of system (27)

取r=2.4、α=1,该点在图3的直线之下,处于稳定区域,应为周期运动.同时取a=2、b=1、c=1、ω=1、x0=1,此时的相图如图5所示.从图5中可以看出,此时系统为周期1运动,该结果与理论结果一致.

图5 系统(27)的周期1时的相图Fig. 5 Periodic phase diagram of system (27)

取r=2.85、α=1,该参数组合在图3的直线之上,处于混沌区域,应为混沌运动状态.

同时取a=2、b=1、c=1、ω=1、x0=1,此时的相图如图6所示.从图6中可以看出,此时系统为混沌运动,此与理论结果相符.

图6 系统(27)的混沌运动时的相图Fig. 6 Chaotic phase diagram of system (27)

3 结论

本文研究了定点脉冲系统的Melnikov函数,给出一种定点脉冲系统Melnikov函数的计算方法,并在定点脉冲信号作用下Duffing系统的混沌预测中应用,推导出系统出现混沌的解析条件,最后用数值模拟验证了理论结果的正确性,说明了文中Melnikov函数的有效性.

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