半空间内含有部分脱胶的椭圆夹杂及圆孔对SH波的散射*

齐 辉，陈洪英，张希萌，赵元博，项 梦

(哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

工程结构中存在各种缺陷(孔洞、夹杂、脱胶等)，通过研究弹性波的散射，可为实际工程的设计、施工等提供理论依据。已有许多学者对弹性波的散射做了研究，累积了丰富的经验。Y.H.Pao等[1]研究了圆柱体中孔洞以及夹杂周围的动应力集中因子的问题，O.Coussy[2-3]对圆柱夹杂与基体之间存在的脱胶现象进行了分析研究。目前，对于全空间、半空间圆形孔洞、椭圆孔洞的研究已经积累了大量理论成果[4-17]，而含有部分脱胶的椭圆夹杂几乎没有，椭圆与圆孔同时存在的研究成果更是尚未发现，脱胶的存在通常是结构直接发生破坏的原因。研究以椭圆为代表的具有不规则边界的复合缺陷，对于工程结构上的设计、施工以及健康检测等具有实际价值。

本文中通过利用“保角映射”技术，将椭圆夹杂映射为圆夹杂，并通过“虚设点源”方法与Green函数法相结合，求出椭圆夹杂及圆形孔洞的位移及应力场，根据椭圆夹杂未脱胶部分应力及位移连续、脱胶部分应力自由、圆孔周围应力自由的边界条件，建立无穷线性代数方程组并进行求解，最后，构造出“脱胶模型”，得到总的散射波场。通过具体算例分析不同参数对动应力集中因子的影响。

1 问题的描述

(1)

2 控制方程

位移函数W与时间因子的依赖关系为e-iw t，结合保角映射原理，满足控制方程[1]：

(2)

结合保角映射原理，应力表达式则可以表示为：

(3)

(4)

3 区域Ⅰ内散射波

(5)

(6)

(7)

式中:Bn、Cn是待定系数，通过脱胶椭圆夹杂及圆孔的边界条件确定，把式(6)、(7)分别代入式(3)、(4)可以得到应力表示。

由椭圆夹杂产生的应力表达式为：

(8)

(9)

由圆形孔洞产生的应力表达式：

(10)

(11)

式中:z1=ω(η)。

(12)

圆形孔洞产生的散射波可以表示为[16]：

(13)

椭圆夹杂产生的散射波应力可以表示为：

(14)

(15)

圆形孔洞产生的散射波应力可以表示为：

(16)

(17)

4 区域Ⅱ内的驻波

(18)

代入应力表达式，则其应力表示为：

(19)

(20)

式中:Dn为待求的未知系数。

5 Green函数Ⅰ的构造

如图2所示，出平面线源荷载作用在含有椭圆夹杂的弹性半空间内的任意一点，利用GⅠ来表示其产生的位移场的基本解，同时，满足控制方程(2)，边界条件可以表示为：

(21)

(22)

(23)

将式(22)、(23)分别代入(3)、(4)式得到应力表达式:

(24)

(25)

(26)

(27)

要求得这三个待定系数Bn、Cn、Dn，需要建立线性代数方程组，本文中分别根据椭圆夹杂周边的位移连续、径向应力连续、圆孔周边的径向应力自由的边界条件，得到问题解的积分方程组：

(28)

将应力及位移代入式(28)，可得:

(29)

用exp(-imθ)同时乘以式(29)等式两边，同时在(-π,π)上对所求等式积分，可求得待定系数Bn、Cn、Dn的线性代数方程组，对方程式控制精度截断有限项，求得未知待定系数，得到Green函数的解。

6 入射波和反射波

(30)

(31)

7 动应力集中因子

(32)

8 算例及分析

9 结 论

利用复变函数法、Green函数法以及“保角映射”技术，通过构造“脱胶模型”，结合多极坐标移动技术，分析了圆孔对于椭圆附近动应力集中因子的影响，得到了SH波对于半空间内含有部分脱胶的椭圆夹杂及圆孔散射的解析解，通过研究分析表明：

(1)入射角度、入射波频率、夹杂埋深、不同缺陷之间的距离及脱胶角度、夹杂较基体的软硬程度均对动应力集中因子存在影响;

(2)入射频率越高，动应力集中因子越大；

(4)圆形孔洞距离椭圆夹杂的距离越远，椭圆夹杂附近的动应力集中因子越小；

(5)不同的脱胶角度对动应力集中因子的影响均不同；

(6)夹杂较基体的软硬程度不同，对动应力集中因子的影响差别较大，因此在工程施工中应选择合适的材料。