设计数学开放题培养学生探究能力

刘堪选

摘 要：初中数学开放题具有结果开放、方法开放、思路开放等特点，能有效地反映高层次思维，为高层次思维创造条件，因而能更好地培养学生独立思考和探索精神，培养学生创造意识与能力。有助于培养学生对数学的积极态度，调动学生学习的积极性，提高平常数学成绩较差学生的数学学习兴趣，帮助学生体验智力活动的欢乐，体验数学学科的灵感。本文以“有关几何图形的面积分割问题”为例，探索培养学生探究能力的途径。

关键词：开放题；探究；初中數学

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“根据评价的目的合理地设计试题的类型，有效地发挥各种类型题目的功能。例如，为考查学生从具体情境中获取信息的能力，可以设计阅读分析的问题；为考查学生的探究能力，可以设计探索规律的问题；为考查学生解决问题的能力，可以设计具有实际背景的问题；为了考查学生的创造能力，可以设计开放性问题。”数学探究能力是对数学问题能在试验、猜想、合情推理的基础上，进行探索和研究，并予以证实；在新的情景中，能正确地表述数量关系和空间形式，并能在创造性地思考问题的基础上，对一些问题得出一些新颖的结果。数学开放题由于条件、结论或解法的不确定性，使得一题多解、一题多变、答案多样；数学开放题既考察学生的基础知识，又考察其综合素质能力；数学开放题能够激发解题主体的发散性思维，而且不同水平的学生都能上手。通过尝试解决数学开放题，能够帮助学生体验数学智力活动带来的欢乐、科学女皇赋予数学的美感。

初中数学开放题以其新颖的问题内容、生动的文体形式和问题解决的发散性，给解题者发挥创造性思维提供了广阔空间，为培养解题者的创造能力提供了良好的载体。开放题能引起学生认知的不平衡，为学生主动选择信息，超越所给定的信息留下了充分的余地，有利于完善学生的认知结构。下面我以开放题“有关几何图形的面积分割问题”为例，培养学生的数学探究能力。

1、问题：如图1，有一块梯形形状的土地，要平均分配给两个农户种植，请设计两种分割方案，并给予合理解释。

这是一道结论开放题，没有指出方向。看似非常开放；但学生的思路很可能是狭窄的。大多数学生的直觉就是作上下底中点的连线EF（如图2）。或许有些学生会从梯形的面积公式上得到启发：在上下底上各取一点M，N，使AM+BN=DM +CN，直线MN能等分梯形面积（如图3）。

2、比较反思：比较这两种方案，它们的分割线有什么共同特点？学生的思维就会被导向深入，也会有新的发现：①分割线都是直线；②实质上都是使分割所得的两个梯形的上下底之和相等；③分割线都经过线段EF的中点（也即梯形中位线的中点）；④分法二实质上是把分法一的Ⅰ、Ⅱ两个部分的面积进行如此一“收”，学生的思路便豁然开朗。经过线段EF中点，有无数条类似的直线（M或N可以与顶点重合）都可等分该梯形的面积；也可能联想到梯形的另一个面积公式“中位线×高”，只需找出中位线的中点，过中位线的中点作一条直线截上下底即可。“收”，是为更彻底的“放”。

3、探究发散：学生的思维得到充分发散后，再将其引向更高层面：是否存在与两腰都相交，能把梯形面积二等分的直线？学生经过了以上的探究，应该会有一定的数学直觉：如果在腰AC上固定一点P，则在腰BD上一定可以找到相应的一点Q，使得直线PQ分割梯形，且Sl=S2（如图4）。类似地，这样的直线也可以找到无数条。

4、进一步发散：除了直线，还能用其他类型的线把梯形面积二等分吗？经过适度地“放”、及时地“收”，让学生的思维达到最大限度的提升，他们会想到折线、曲线、组合线（如图5，图6，图7，图8）……

初中数学开放型题目是挖掘、提炼数学思想方法，充分展示应用数学思想方法的良好载体，使每个学生的数学才能在自己原有的基础上有一个最大的发展，体现受教育者公平和人人有份的原则。开放性问题的研究和教学，有利于教师转变教育观念，激发教育热情，摆脱一种浅层次的教学循环，体现教师自身的生命活力。