《复变函数与积分变换》课程教学与MATLAB应用

徐幼专，周后卿

（1.邵阳广播电视大学，邵阳 422000；2.邵阳学院理学院，邵阳 422000）

0 引言

众所周知，《复变函数与积分变换》是工科类较为重要的基础课程之一，其重要的原因不仅在于可以学到一些复变函数知识，为其他专业课程的学习打好基础，如《电子电路》、《自动控制原理》、《信号处理》等，都是以该课程的数学方法为解决问题的重要工具。通过这门课程的学习目的是提高学生的数学素养，培养解决问题的能力。数学能力是在学习数学的过程中发展起来的，并且主要是在数学学习活动中表现出来的比较稳定的心理特征。然而随着高校扩招，生源质量参差不齐，给班级教学造成许多困难。就《复变函数与积分变换》而言，由于学生没有学好高等数学，所以在学习这门课程时感到很艰难，使得这门课的挂科率居高不下。怎样才能激发学生学习数学的热情，提高复变函数与积分变换的教学质量，许多教育工作者做了深入的研究，他们从各个方面进行了探讨（参考文献[1-7]），并且形成了一些共同的认识；对于《复变函数与积分变换》课程的改革，也是见仁见智（参考文献[8-10]）。然而，教学探索和改革是一个永恒的话题，永无止境。结合自己多年的教学实践，谈谈个人对这门课程的一些看法。

1 对《复变函数与积分变换》课程的新认识

目前，有相当一部分教师，在讲授《复变函数与积分变换》时，教学模式还是侧重以理论推导为主，附带讲积分方法应用。忽视了这门课的具体应用背景，容易导致学生学习目的不明，不知如何利用《复变函数与积分变换》的方法解决工程技术中的问题，因而容易丧失学习兴趣和信心。

在教学时候，要强调《复变函数与积分变换》课程的实用性。复变函数与积分变换的理论和方法在数学中有着独特的作用，例如，在《高等数学》的曲线积分这个章节，积分什么时候与路径L无关，只与曲线L的起点、终点有关？高数教材介绍了一个定理，即当时，积分与路径无关。而在复变函数中同样有类似的性质，当函数在这个曲线L所围的单连通区域内解析时，曲线积分与路径L无关，只和L的起点、终点有关。因此，在高等数学中遇到求积分的问题时，可以把这个实积分转化求复积分，特别是当积分路径为圆时，用复积分方法显得更为简单。再则，自然科学和工程技术中的一些问题，例如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题，等等，也可以用复变函数中的方法去解决。在信号处理、模拟电路等内容中，更多地利用傅里叶变换与拉普拉斯变换来解决。

这门课程虽然重要，但对于不同专业的学生来说，要求不尽相同。因此，教学内容的改革要贯彻“必需”和“够用为度”的原则。从应用技术性人才培养目标出发，要以应用为目的，以必须够用为“度”，把培养学生应用数学解决实际问题的能力与素养放在首位。为此，需要对这门课程的内容进行适当的取舍与更新。教学内容上必须紧紧结合专业培养目标，但要保证教学内容的系统性和严谨性，教学上不能过分形式化。

2 对《复变函数与积分变换》课程改革的思考

2.1 激发学生的学习兴趣

学习的敌人是骄傲、是满足、是厌恶。许多学生数学成绩不好，不是由于智力上的原因，而是主观因素造成的，也就是没有主动学习的愿望，对学习数学缺乏兴趣。研究表明，兴趣是最好的老师，学习兴趣是学生学习的强大内驱力。学生一旦有了学习兴趣，注意力就高度集中持久，思维就会异常活跃，学习活动就会随之变得愉悦，就能高效率地掌握知识技能；在某种意义上说，学生的学习兴趣比智力因素作用更大。反之，学生对学习不感兴趣，就会导致学习动力缺乏或动力水平降低，甚至厌学。试想，一个人本来对数学兴趣不大，甚至感到厌恶，上课将它弃之一边，置之不理，不屑一顾；课余更不会花时间和精力去看书、去思考，这种状况还能学好数学吗？加之大学阶段的学习方法有别于中学，强调学生自学为主，侧重于对数学概念、数学原理以及思想方法的理解和掌握；教师只是在上课时将问题提出，并适当地指出解决问题的方式途径，回头复习的机会是很少的。因此，如何引导学生主动参与，激发学生的学习兴趣，发挥学生的主观能动性，是每位教师不能不思考的问题。学生的厌学情绪倒逼我们教师必须采取有效的教学方法，改变传统教学模式，运用现代教育技术手段，采用探究、情境、合作等多种教学形式，吸引学生的注意力。

2.2 讲清概念原理

中学数学的教学过程中，教师往往对教学的方法是非常重视的，他们用非常生动而且形象的语言吸引学生，从而激发他们学习数学的兴趣。课堂上采取边讲边练的方式，每堂课的教学内容并不多，目的就是让学生充分掌握所学的知识。而在大学的数学课堂上,每堂课的教学内容很多，又多采用“满堂灌”的教学方法。教师并不要求学生立即掌握所学的知识，而是注重对学生逻辑思维能力和综合运用能力的培养。正是这种差异,许多新生不能够马上适应大学的数学学习，在学习中遇到了较大的困难。所以，在复变函数课程教学时，教师也要注重教学方法。例如讲解概念时，尽量从学生熟悉的生活实例或与专业相结合的实例中引出，使学生建立正确的数学概念。侧重解题思路、解题过程的教学，引导学生分析、归纳、推理、类比，构建知识的迁移渠道，拓展学生的思维，提高教学的整体效果。

2.3 注意类比法，对比法，减少不必要的理论推导

由于《复变函数与积分变换》中的许多定理证明，推导比较繁琐，需要一定的技巧。因此，我们在定理教学时需要把握一个原则：怎样深入浅出、化难为易。更要把握好一个度，不能一节课的时间都用在定理的证明上。由于这门课程的许多定义、定理的结论是高等数学内容的一个推广，因此，在学习时要注意类比。例如，复变函数的级数理论中，很多结论与高等数学中的相类似，如幂级数、解析函数的泰勒展开。再者，要利用对比法来学习，特别要注意两门课程不同的地方（见表 1）。

表1 《高等数学》与《复变函数与积分变换》部分知识点的不同之处

复变量函数中许多问题与实变量函数可以对比、类比，从保留、增加、推广的角度去研究，如复数保留了实数的四则运算、运算规律。也增加了一些新的东西，正如表1所列出的那些知识点，也是实数域与复数域不同的地方。在学习时要将对比、类比法的思想方法，自始至终贯穿在教学的全过程中，引导学生找出彼此的共同点，弄清彼此的不同点，深刻理解、灵活运用。

2.4 利用计算软件简化运算，降低教学难度

教学的首要任务是指导学生学会思考，怎样去分析、归纳、类比、推理。大学的学生应能够熟练的掌握类比法、分析法、归纳法、变量替换法、恒等变形法以及数学模型法等常用的数学思维和解决实际问题的方法，对于在处理问题时常用的数学技巧也应熟练的掌握。学生们在学习定理、公式、法则时,要注意已经成立的条件并理解它们存在的作用，从这些已经成立的条件开始分析问题，这样才能够得到正确的结论。

高校教师还应不断的学习先进的教学理念，要紧密结合工程应用，要以现代工程技术实例为引导，以积分变换理论为基础，实例分析和理论分析相互交叉。不断改进传统教学手段、教学方法；更加重视思维方法以及基本概念的教学工作，因材施教,尽量将一些复杂问题简单化,将一些抽象概念具体化。充分利用现代教育技术和手段，将数学实验用到课堂教学中，使得教学更加直观化、可视化，这样学生更容易接受。例如，利用MATLAB软件画出函数的图在孤立奇点处留数。

分析：如果用常规方法计算，首先要确定函数的孤立奇点，因为可知函数的孤立奇点为 z1=-1(一级极点)，z2=1(二级极点)，然后分别利用留数计算方法，求出函数在z1,z2处的留数。现在如果借助MATLAB软件，就能轻松求出留数，不必用这么多步骤了,只需写出源代码运行即可，一次求出。

当分子分母均为多项式函数，调用格式如下：[R,P]=residue（A,B），其中R是部分分式的系数数组，即留数数组，P是极点数组。参数A是由复变函数的分子的系数组成的向量，参数B是由复变函数的分母的系数组成的向量。

利用MATLAB编程，程序如下：形（见图1、图2）。利用MATLAB软件作图，既快又好，黑板上是无法画出那种效果的。像这样两个图形对比，它们的差别一目了然，非常清楚，学生就很容易搞懂。其实，MATLAB软件在计算、绘图、设计等方面还有许多用途,如果在复变函数与积分变换教学中，能结合教材内容与实际案例,利用MATLAB探究解决相关问题，那么对学生的自主探索，兴趣培养必定会起到积极的推动作用。

运行结果：

图1 函数f(x)=x2的图像

图2 函数 f(z)=z2的图像

当函数有重极点时，对同一个极点P，存在几个展开系数R，这几个R中只有与相同极点中的第一个对应的R是的系数,即与极点P对应的留数，其余的不是留数。本题中，函数在孤立奇点1处的留数为，在孤立奇点-1处的留数为由此看出，利用计算软件，能达到事半功倍的效果。

3 结语

我们在多年的教学实践中发现，有效合理利用教育技术手段，能够激发学生的学习兴趣，降低课本难度，教学变得直观具体，学生易于接受。当然，利用课件、多媒体技术也要有的放矢，不是每堂课都用。《复变函数与积分变换》的教学与《高等数学》有相似之处，也有不同的地方；不管怎样，只有端正教、学态度，合理组织教学内容，优化教、学方法；改变机械学习状态，积极思考，勤学好问，掌握方法，才能提高教学质量。教学改革是一个漫长的过程，也是一个永恒的课题。只要我们持之体恒，积极探索，躬身实践，就一定能找到一个合适的教学方法，就一定会收到成效。