化归思想在圆柱教学中的渗透

摘 要：小学数学中化归思想的应用无处不在，怎样以具体数学知识为载体，创设合理的教学情境进行思想和方法的渗透。本文以“新人教版”六年级数学下册教材圆柱的教学为例，浅析如何在课堂教学中恰当地运用化归思想，提高学生分析和解决问题的能力。

关键词：化归思想；渗透；圆柱教学；提高能力

作者简介：凌秀莲，广西崇左市宁明县城中镇第二小学教师。（广西 崇左 532500）

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2018）21-0063-02

一、化归思想的定义

人们在面对数学问题，当直接应用已有知识不能或不易解决时，一般会把需要解决的问题不断转化形式，归结成能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，人们把这种思想方法称为化归思想。

南京师大的喻平教授认为，应用化归思想时，要遵循四个基本原则：①数学化原则，就是把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，应用数学知识解决问题；②熟悉化原则，就是把陌生的问题转化为熟悉的问题；③简单化原则，就是把复杂的问题转化为简单的问题；④直观化原则，就是把抽象的问题转化为具体的问题。[2]

因此，在小学数学教学中，要将化归的数学思想和方法渗透到各个环节。下面笔者以圆柱的教学为例，浅析如何在课堂教学中恰当地运用化归思想，提高学习效率。

二、化归思想在圆柱课堂教学的渗透

圆柱的教学是“新人教版”六年级数学下册第三单元“圆柱与圆锥”第一小节内容。它分为三个层次：第一，结合实物探索圆柱的特征；第二，探索圆柱表面积的计算方法；第三，探索圆柱的体积计算公式的推导过程。

在圆柱的课堂教学实践中，笔者主要从以下五个方面渗透和运用了化归思想和方法。

1. 把未知问题转化成已知问题。如在学习圆柱的体积时，笔者就课本提出的问题入手：我们能不能把圆柱转化成我们已经学过的立体图形，计算出它的体积呢？接着通过教师演示教具，把圆柱的底面分成许多相等的扇形，把圆柱切开，照教材的图拼起来就近似于一个长方体。然后，进一步运用课件进行展示，将圆柱的底面逐步分成8等份、16等份、32等份的扇形，让学生观察了解：底面分成的份数越多，拼成的形体越接近长方体。接下来引导学生把拼成的长方体与原来的圆柱体比较，发现转化前后长方体的底面积与圆柱体的底面积相等，长方体的高与圆柱体的高相等。因为长方体的体积等于底面积乘以高，所以圆柱体的体积计算公式是底面积×高，从而最终推导出圆柱的体积计算公式V=sh或V=πr2h的两种形式。就这样通过切割和拼接，把未知的圆柱体转化成已知的长方体，从而推导出圆柱的体积公式，这一教学过程向学生渗透了转化思想。

2. 把整体问题转化成局部问题。很多数学问题，如果从整体去进行思考和分析会比较复杂。此时不妨引导学生利用化归思想，从问题出发，把不必要的已知条件过滤掉，打破常规思路，直接找出原问题的答案。如课本练习四第13题（24页）：

一根圆柱形木料的底面半径是0.3m，长是2m，将它平均截成4段，这些木料的表面积比原来木料增加了多少平方米？

有学生提出先求截成4段后的木料的表面积，再求出原来木料的面积，然后算出两者面积之差，就知道增加了多少平方米。这个解题思路计算起来显然非常麻烦。有没有更简单的解题方法呢？

笔者提问：“在图中，截成4段后木料比原来多出来的是哪个面？”学生通过观察附图发现：把圆柱形木料截成4段后，表面积比原来增加了3×2=6个底面。由此求出一个底面积再乘以6，即可解决问题。这种方法比用4段木料总面积减去原来木料的面积无疑更省事，实际上只需把整体的问题变成局部问题，抓住圆柱的切割特点，找出截成4段表面积增加的部分，问题就得以解决。

3. 把隐蔽问题转化成具体问题。课本练习五的13题（29页）：小雨家有6个底面积是30cm2、高10cm的圆柱形水杯，沏一壶茶水能倒满4杯，有一天来了6位客人，如果让6位客人都能喝上这壶茶水，平均每杯倒多少毫升？

这道题的已知条件很多，但与问题之间的联系比较隐蔽，要想解决这个问题，首先要对题中的条件进行化归，将隐蔽的问题明朗化和具体化。题目的已知条件是茶杯的底面积和高，求平均每杯倒多少毫升茶，就是把一壶茶水平均分成6份，其实是求把4个茶杯的容量平均分成6份，每份是多少毫升。

根据以上条件和问题，笔者用化归思想引导学生将问题进行分解：

（1）1个茶杯容量是多少毫升？（2）4茶杯是多少毫升？（3）6位客人平均分这4杯茶，每人分得多少毫升？

通过这样分解，学生很快就理清了题目中的数量关系，求出答案。

由此可见，在解决较隐蔽的问题时，利用化归思想可以将问题进行分解转化，把问题变得简单具体。

4. 把生活问题转化成数学问题。在圆柱教学中常常碰到生活中的实际问题。在解决这类问题时，笔者引导学生先将问题进行符号化，也就是数学化。然后再进一步考虑，选择什么样的数学知识解决问题。

练习课上有一道题：用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长15米，横截面是一个直径2米的半圆（如图）。

（1）这个大棚的种植面积是多少平方米？

（2）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约有多少平方米？

（3）大棚内的空间约有多大？

要解决大棚的种植面积、塑料薄膜的面积和大棚内的空间这几个实际问题，首先将这几个实际问题进行数学化，将题目上已知条件实际数字和问题转化成数学条件后，就变成了下面的数学问题：

（1）求长15米、宽2米的长方形的面积；

（2）求直径2米、高15米的圆柱表面积的一半；

（3）求直径2米、高15米的圆柱体积的一半。

通过把实际问题转化为跟圆柱有关的数学问题后，就能轻松地用圆柱的知识去解决了。

5. 把抽象問题转化成简单问题。有些数学问题的很多条件比较复杂，从而使问题看起来变得抽象。这时，我们可引导学生运用化归的思想对题目中的抽象条件进行分析。

如例7（27页），教材呈现了一个装了小半瓶水的矿泉水瓶，下部是圆柱形，上部是一个不规则的立体图形。给出了瓶子平置时水的高度和倒置时无水部分的高度，求这个瓶子的容积。

这是一个非常规的数学问题，简单套用公式无法解决。首先，让学生在理解题意的基础上，明确这个瓶子不是一个完整的圆柱，无法直接用圆柱的体积公式计算它的容积。然后我们能不能把它转化成圆柱呢？

接下来通过实物演示，引导学生观察比较水瓶倒置前后的水瓶内的变化情况，发现无论是否倒置，水瓶的容积=瓶内水的体积+无水部分的体积。进一步观察发现：水瓶倒置前后，水的体积与无水部分的体积都是不变的，并且倒置前，瓶内水的形状是一个圆柱，而倒置后，无水部分的形状也是一个圆柱，这两个圆柱的体积之和就是瓶子的容积。通过实验演示让学生经历了等积变形的转化过程，把不规则形状转化为规则形状，从而解决问题。

实践证明，化归思想的运用能使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而抓住问题的本质，降低解决问题的难度。

综上所述，化归思想是学习者所应具备的数学思维，也是重要的数学解题方法。

参考文献：

[1] 教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京.北京师范大学出版社，2012：2-4.

[2] 喻平.数学化归方法的理论分析[J].广西师范大学学报（自然科学版），1993（3）：21-27.

[3] 许丽琼.巧用化归思想提高课堂效率[J].小学教学参考：数学版，2016（12）：44.

[4] 于艳玲.小学数学教学中渗透数学思想方法分析[J].新课程导学，2015（5）：56-56.

[5] 于洋，傅海伦，王剑.新课程下化归思想在解题中研究的反思[J].中学数学志，2015（8）：4-6.

责任编辑 范艳玲