新课标高考下的转化与化归思想

李兴明

摘 要：转化与化归思想是高中数学的核心思想方法，在高中数学教学中应该从整体上把握好转化与化归的思想方法的教学。

关键词：转化与化归 高考体现 方法与策略

解決数学问题时，对那些直接求解较为困难的数学问题，我们可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择恰当的数学方法进行转化，将原问题归结到一个已经解决或较容易解决的新问题中去，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法就是“转化与化归思想”。转化与化归思想是高中数学的核心思想方法，在高中数学教学中应该从整体上把握好转化与化归的思想方法的教学。

一、转化与化归思想在新课标高考中的体现

（一）数与形的转化

数与形的转化指利用几何性质研究代数问题或借助数量关系的讨论研究几何性质，从而为解题提供方便。

例1（2017年课标III）若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为__________。

【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示。

目标函数化为 ，当直线 在 轴上的截距最大时，目标函数 取得最小值，故目标函数在点 处取得最小值 .

【评析】本题考查了简单的线性规划知识；考查了数与形的转化。

（二）正与反的转化

正与反的转化指当遇到的数学问题从正面入手难度较大或分类较多时，可先求它的反面，再取补集，也指直接证明较难时用反证法证明。

例2已知函数 在 上无单调性，求k的取值范围。

【解析】函数 图象的对称轴是 ，当 ，即 时， 在 上有单调性，故 在 上无单调性的k的取值范围是 。

【评析】本题考查了二次函数的单调性，从正面求较繁琐，转为先求反面，再取补集较易。

（三）一般与特殊的转化

一般与特殊的转化指一般性难解决的问题可从特殊情况入手寻找解题思路；特殊问题难入手的也可先研究一般情况，再向特殊转化。

例3（2014年课标II）已知偶函数 在 上单调递减， ，若 ，则 的取值范围是__________。

【解析】举特例 图象 向右平移1个单位得 图象

故使 的 的取值范围是

【评析】本题考查了函数的性质，举特例函数分析较简单，运用一般与特殊的转化.

（四）相等与不等之间的转化

相等与不等之间的转化指在某些情况下，利用相等与不等相互转化，把问题化难为易。

例4（2013年课标II）△ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值。

【解析】（Ⅰ）B= ；（Ⅱ） .由余弦定理得 .又 ，故 ，当且仅当 时等号成立，故△ABC面积的最大值为 。

【评析】本题考查正、余弦定理及基本不等式，考查相等与不等之间的转化.

（五）实际问题与数学模型的转化

实际问题与数学模型的转化指选择恰当的数学模型来更加有效的解决实际问题。

例5（2017年课标II）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）。

A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏

【解析】从塔顶层往下数，每层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由题意得 ，解得 ，故选B.

【评析】本题考查了数列模型的应用，考查了实际问题与数学模型的转化。

二、转化与化归思想渗透到平时教学的策略

（一）用转化与化归思想指导基础知识教学，在基础知识教学中培养转化与化归思想

注重在基础知识的教学中揭示蕴涵转化与化归思想。如讨论直线和圆的位置关系时可转为研究圆心到直线的距离与圆的半径的关系；解一元二次不等式时转化为研究对应的二次函数的图象，利用抛物线求解；求抛物线上的点到焦点的距离常利用抛物线定义转为求它到准线的距离；求空间角利用向量角求解更加简单。

（二）用转化与化归思想指导解题练习，在问题解决中运用转化与化归思想方法，提高学生运用转化与化归思想方法的解题意识

新课标高考的总体趋势是注重基础，加强灵活，稳中求新，在研究函数、解析几何、立体几何、概率统计、实际应用问题等新课标的热点问题时，如果用转化与化归数学思想，将会使问题明了简便。

总之，转化与化归思想是高中数学思想方法的核心，我们在数学教学的每一个环节中，都要重视转化与化归数学思想方法的教学，培养学生解决问题的能力，让学生终生受益。

参考文献

[1]亢红道，罗开秀.中学数学解题对策[M].昆明：云南大学出版社，2003.

[2]徐勇.转化与化归，峰回路转[J].数学金刊，2011（04）：36-37.

[3]徐勇.转化与化归，曲径通幽[J].数学金刊，2011（03）：36–37.