已知匀强电场电势分布巧求场强

邹祥云

(广东省深圳大学师范学院附属中学 518060)

矢量的求解不仅要考虑其大小，还要考虑其方向，高中物理中涵盖的大量的物理量都是矢量，学生在求解这些矢量性的物理量时首先的方法还是结合该物理量所对应的公式进行计算，往往会忽视该物理量所对应的矢量性质，其实，运用矢量的合成与分解的方法求解对应的物理量是一种非常高效的方法，尤其是应用正交分解的方法研究矢量的合成，无论是动力学和电磁学中应用都非常普遍.

例如：在力学问题中，当要求某个力做功时，可以采用正交分解法

也就是两个垂直方向的分力所做的功的代数和即为合力所做的总功.

同理，在匀强电场中，当要求某两点的电势差时，也可以采用正交分解法

也就是两个垂直方向的电场引起的电势差的代数和即为总电势差.

本文试以两道高考题来领略正交分解法的高效性.

图1

例1 (2017·全国卷Ⅲ第21题)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图1所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V．下列说法正确的是( ).

A．电场强度的大小为2.5 V/cm

B．坐标原点处的电势为1 V

C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV

D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV

分析匀强电场中电场强度和电势差的关系，电势与电势能是高考的高频考点，但考点在考题的呈现比较隐晦，电场线的方向和电场强度的大小未知，解决这类问题时学生的通常做法是一般是借助已知点的电势的数据分析，再画出最低点电势和最高点电势之间的连线，作出n等分的辅助线，然后根据几何关系找到已知的等势点，画出等势线，并根据几何知识画出题中所求点的等势线，最后得出所求点的电势.最后再根据等势面确定电场方向，等势面的电势差与其间距的比值确定电场强度.常规解法如下：

因为Oacb是矩形，所以有U0a=Ucb,解得坐标原点O处的电势为1V，故B正确.a点电势比b点电势低7v，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点高7eV，b点电势比c点电势低9V,电子从b点运动到O点，电场力做功为9 eV，故D正确.

图2

在ac间找一点d使其电势与b点相同，连接bd，如图2所示，由几何关系有，在匀强电场中同一条不垂直于电场方向的直线上，两点间的电势差与该两点间的电势差成正比.

求解电场强度时首先是要判断等势面，这样的判断方法比常规程序较繁琐，判断起来也比较麻烦，最关键的是找到等势面后计算电场强度也很容易出错.在这里提出一种新的解法把电场强度正交分解，具体如下：

X方向上：EXXac=Uac

y方向上：Eyybc=Ubc

可得两方向上场强大小EX=2 V/m；方向沿X负方向.

Ey=1.5 V/m；方向沿Y负方向

根据几何关系，可得合场强方向与X轴夹角为370斜向下.

在Y轴方向上，oa=bc，Uoa=Ubc，可得φo=1V

与上述方法所得结果相同，但过程简单，计算方便.

例2 (2012年安徽高考第18题)如图3所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0V，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强度的大小为

图3

分析此题的考法和考点和上题如出一辙，可见匀强电场中电场强度和电势差的关系，电势与电势能这一考点的重要性，但是作为单项选择题，采用常规解法会降低做题速度，而采用本文提到的正交分解法，会很快得出答案.解法如下：

X方向上：EXXOA=UOA

y方向上：EyyOB=UOB

Ey=100 V/m；方向沿Y负方向

根据几何关系，可得合场强方向与X轴夹角为60°斜向下,可得A为正确答案.

当然，上述问题中给定的物理情境已经使得电场中的各点置于坐标系中，其实在没有给定坐标系的情况下，可以自行建立坐标系，可以借鉴动力学的正交分解的思想，常常选择水平方向为X轴，竖直方向为Y轴，建立坐标系，再把待求的电场强度进行分解，再合成求解.从上述两道高考题可以看出，正交分解在高考题中求解匀强电场强度体现出这种方法的高效性和灵活性，在教学中，可以对学生进行强化和拓展，迁移到匀强磁场中进行磁感应强度的求解.