几类近似达到Welch界码本的构造

张爱仙,何春燕,吉喆

(西安理工大学数学系,陕西 西安 710048)

1 引言

设 CK是 K 维复向量空间,u=(u1,u2,···,uK),v=(v1,v2,···,vK)∈ CK,定义 u,v的厄米特(Hermitian)内积为

当(u,u)=1时,称u是单位向量.

定义 1.1 设N>K,一个参数为(N,K)的码本(codebook)C是指CK中N个单位向量构成的集合 C={c1,c2,···,cN}.

当1≤i̸=j≤N 时,ci和cj的互相关值定义为|(ci,cj)|.码本C的最大值定义为

Imax(C)的值很小的码本C,即具有低相关值的码本C在分频多址通信中有着重要的应用,它们用来区分不同用户发出的信号.近年来,码本在量子通信,编码理论,填充,密码学中也有广泛的应用[1-4].

引理 1.1[5]对于参数(N,K)的码本,有

这就是著名的Welch界,用Welch界来衡量码本的好坏,达到Welch界的码本,称为是最佳的.但目前绝大多数最佳的码本都是基于交换群上的差集合构造的,构造差集合是组合数学中的一个困难问题,并且由于差集合的参数(v,k,λ)之间要满足k(k−1)=λ(v−1),所以有很多差集合不存在性的结果,也就是说很多参数的最佳码本是不存在的.

2 预备知识

文献[6]中作者考虑用几乎差集合构造近似最佳的码本.下面给出近似最佳码本的定义及本文中要用到的有限域上的分圆类,高斯和,高斯周期等概念和相关结果.

定义 2.1[7]一个参数为(Nn,Kn)的码本系列Cn(n=1,2,···)叫作是近似最佳的,是指当n→∞时满足以下两个条件:

(1)存在常数c,0

(2)存在正常数 c′,使得

引理 2.1[7]码本系列C是近似最佳的是指如果存在常数c>1满足以下两个条件：

令 p是素数,q=pm,Fq是 q个元素的有限域,=Fq{0}是 q−1阶循环群.Tr:Fq−→Fp是有限域上如下定义的迹映射：

下面给出本文中将会用到的高斯和的几个性质.

引理 2.2[8-9](1)当 χ=1(平凡特征),G(χ)=−1.当 χ̸=1,

其中χ=χ−1是χ的共轭特征.

(2)令q=pm,p≥3,χ是Fq的二次特征,则

是Fq上的e阶分圆类.关于分圆类更详细的性质,可参见文献[10].Fq上的e阶高斯周期定义为

高斯周期与高斯和有如下关系,设χ是Fq上的e次特征,χ(α)=ζe,

3 近似最佳码本的构造

设 q=pm,q′=p′m′,p,p′都是奇素数.本节考虑群 Fq×Fq′上近似最佳码本的构造,其中q,q′→∞,|q−q′|

其中 Tr′:Fq′−→ Fp′是迹映射.

构造 1 考虑加法群Fq×Fq′中如下子集合:

从而码本C(D)近似达到Welch界,是近似最佳码本.

对 C(D) 中不同的码字 c=cχ,c′=cχ′,(χ ̸= χ′),

(1)当 a=0,b̸=0 时,

其中η′是Fq′的2次高斯周期,由引理2.2及高斯和的正交性=−1可得上式.于是

(2)当 a ̸=0,b=0 时,

(3) 当 a ̸=0,b ̸=0 时,

例 3.1 取 Fq×Fq′=F2187×F2197=F37×F133,α,β分别是 Fq,Fq′的本原元,取子集合D为

构造参数为(N,K)=(4804839,2401326)的码本

由定理3.1可知,

Welch界为

构造 2 考虑加法群Fq×Fq′中如下子集合:

从而码本C(D)近似达到Welch界,是近似最佳码本.

证明 证明过程与定理3.1类似.

例 3.2 取Fq×Fq′=F1331×F1327=F113×F1327,1327是素数,α,β 分别是F1331,F1327的本原元,取子集合D为:

构造参数为(N,K)=(4804839,2401326)的码本

由定理3.2可知,

Welch界为:

注 3.1 文献[11]中作者考虑了分圆类并两个零元素和四个零元素的情形,下面讨论分圆类并三个零元素作为子集合的情形.

构造 3 考虑加法群Fq×Fq′中如下子集合

从而码本C(D)近似达到Welch界,是近似最佳码本.

(1)当 a=0,b̸=0 时,

其中η′是Fq′的2次高斯周期,由高斯和的正交性可知=−1.

(2)当 a ̸=0,b=0 时,

于是

(3) 当 a ̸=0,b ̸=0 时,

例 3.3 取 Fq×Fq′=F2187×F2179=F37×F2179,2179是素数,α,β分别是 F2187,F2179的本原元,取子集合D为

构造参数为(N,K)=(4765473,2383826)的码本

由定理3.3可知,

Welch界为:

从而码本C(D)近似达到Welch界,是近似最佳码本.