基于数学学习心理的教学片断设计

刘辉 康文彦

关键词：高中数学；学习心理；教学片断；余弦定理

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1009-010X（2018）20/23-0121-03

对于教师来说，教育心理学是教学设计的灵魂，以学生心理为依据的教学设计才会合教与学的规律。

一、教育心理学在教学活动中的体现

将教育心理学运用于教学设计的最终目的是将其落实于教学实践。所以教学设计首先应该考虑如何将学情和教学理论框架应用于具体的教学环节当中，数学教学活动一般包含课堂引入、呈现内容、师生互动和测评强化四类基本教学活动。

第一步是课堂引入，数学课堂的引入环节要唤起和引导学生的注意，激活相关原有知识，而且要让学生具体了解课堂学习的目标；其次是呈现内容，教师呈现的新材料或新方法应具有鲜明的特征，必须与学生原有的知识产生稳固的联系；再次是师生互动，数学课堂中师生互动典型的表现为“提问-回答”这一过程，所以教师一定要做好问题的设计——在课的开始设计问题的目的是激发学生的兴趣和注意力，在课的中间设计问题的目的是促进学生集中注意力和引导学生的思维，在课后设计作业的目的是用来小结和评价学生的学习情况，为学生布置拓展性任务；最后是测评强化活动，测评强化活动的目的是促进学生进一步回忆和巩固学习到的概念、方法和结论，并逐步形成应用所学知识和技能解决新问题的能力。就知识而言，教师可提供有意义的组织结构，供学生回憶知识使用；就技能而言，教师可以安排多种练习机会，让学生进行反复性和间隔性的训练，从而达到知识的巩固和强化；就激发学生兴趣而言，教师可以适当运用心理暗示和适度的奖惩，激发学生学习兴趣。

二、结合具体教学内容的分析

例如对于余弦定理这节课的内容来说，推导余弦定理是本节课的关键和重点，以下将选取余弦定理的推导作为教学片断进行内容分析。

（一）知识的地位与作用

余弦定理是高中数学人教A版必修五的1.1.2节，学生初步掌握正弦定理进而即将学习实践应用，所以这一小节内容起着很重要的承前启后作用。在高考中，余弦定理也是必考内容之一，因为其综合性、应用性比较强，容易与其他数学问题及生活实际相结合，所以考查频率很高，所占分值在10分左右。

（二）学情分析

学生在初中学习过用“边角边”和“边边边”证明三角形全等，学生会用这两个定理，却不知道其缘由。学生也会用“大边对大角”以及勾股定理等结论，初步对三角形的边角关系有一定的认识。特别是刚学过正弦定理，这使得学生对边角关系的理解进一步进行了强化，对边角关系的研究也更加深入。为本节课的研究提供了一定的研究基础，有一些研究方法也可以借鉴。但是本节课思维量比较大，对学生的分类讨论、归纳推理以及运算能力也有一定的要求，所以学生对学习和探究个别推导方法时可能会有一定的难度。

（三）教学目标

知识与技能：会用多种方法进行余弦定理的推导。

过程与方法：引导学生从已有的知识基础出发，展开思维，用多种可能的方法推导余弦定理。

情感、态度与价值观：在探索和证明的过程中，锻炼学生的发散思维能力，让学生感受定理发现的过程以及培养学生善于思考、勇于探索的学习精神。

（四）重点和难点

重点：用向量法进行余弦定理的推导。

难点：多种方法对余弦定理的推导过程。

（五）教学方法

重视认知的发生过程，在知识的获取过程中激发学生的思维。利用问题串的形式引导和激励学生用多种已学知识进行问题的解决。

三、对课堂教学的设计

（一）导入

问题1：在初中我们证明两个三角形全等有哪些方法？

问题2：那你知道为什么两个三角形中两条边以及其夹角对应相等，第三条边就会相等？为什么两个三角形中三条边都对应相等，两个三角形就会全等？

【设计意图】紧密联系教材，结合初中学生熟知的、应用非常频繁的两个定理，究其原因、引出学生的疑惑。

问题3：在一个湖中有两个与陆地相接但彼此不相接的半岛，如何求这两个半岛间的直线距离？

【设计意图】创设一个实际情境，引导学生构建三角形，将实际问题转化为已知三角形中的两条边及其夹角，如何求另外一条边的问题。

通过以上三个问题的引导，使得学生对熟知的定理产生质疑，并结合实际情境以及学生已有知识将实际问题转化成需要用余弦定理解决的数学问题，这可以激发学生的疑点，吸引学生注意力，使其积极投入到思考和试图解决问题的过程中。

（二）学生自主思考

问题4：同学们是否能将问题3中的情景进行数学抽象呢？

【设计意图】让学生将实际问题进行数学抽象，培养学生的数学建模和数学抽象的核心素养。数学抽象可以简化情境，将学生的注意力回归到数学问题上来。

这个问题学生容易解决，即转化为：在△ABC中已知AC=b，AB=c和A，求a.

问题5：回顾一下你所学的知识，如何解决这个问题？

【设计意图】学生刚刚学习过正弦定理，所以学生比较容易想到用正弦定理解决该问题。但这种方法的运算过程很复杂，教师可以引导学生进行思路的分析，让学生体会到其繁杂性，具体推导过程可以放在课后，可以培养学生的数学运算的核心素养。在这个过程中，学生虽然想到了解决问题的办法，但是其运算过程繁杂，所以乘机鼓励学生继续思考。

问题6：还有没有其他方法？

【设计意图】用正弦定理的方法难以解决，那么学生还可能想到做高，构建直角三角形。但是，构建直角三角形需要进行分类讨论，即以为锐角、钝角和直角分类进行推导，可行性较强，稍显繁杂。在此过程中也可以帮助学生回顾三角函数知识以及培养学生数学运算的核心素养。相对上边的方法，该方法较为简单，所以学生可以成功进行求解，内心获得一定的成就感，但分类讨论使得该法的运算量较大，仍有改进的余地。

（三）教师引导

问题7：从三角形上看，已知条件都集中在角附近，知道两条边及其夹角，我们在哪儿见过类似的情景？

问题8：用向量方法如何用已知量表示未知量？

【设计意图】用类比的方法让学生回忆平面向量基本定理中类似的情景，从而想到用向量解决问题。 利用向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，将几何关系转化成代数关系。本节课的生成点和切入点就在于此。向量法是本节课的重点内容，一方面让学生回顾向量知识，另一方面应用向量根据解决数量问题，体会向量解决问题的简洁性，从而体会数学工具的妙用。用向量法学生能获得极大的满足感，从简洁的推导过程中获得惊喜。

（四）知识拓展

问题9：向量法可以将数与形结合起来，那结合数形关系的方法还有什么？

问题10：用解析法解决该问题的过程中如何表示三角形各个顶点的坐标？

【设计意图】用数形关系的特点，让学生回顾解析法，将三角形置于平面直角坐标系中，用三角函数的定义表示三角形顶点的坐标，在坐标系中求线段的长度。这种方法比向量法稍显繁杂，但不需做高法中的分類讨论，而且可以很好地回顾三角函数的知识以及锻炼学生的运算能力。解析法的思考和推导是对学生思维的升华。

（五）小结

问题11：我们用了哪些方法进行余弦定理的推导？这些方法各自有什么特点？

问题12：有没有其他可以推导余弦定理的方法？

【设计意图】让学生对所学的四种方法进行小结，及时对所学知识进行巩固和强化。在分析各个方法的特点时，体会用几何方法解决代数问题的优点。另外，有的学生还可能会有其他推导思路，教师可以进行简单的评析，或者将其留作开放性作业，让学生课后进行探究和整理。通过小结，学生整理和巩固了所学的方法，并激发了学生寻求其他方法的欲望，为学生的拓展性和深入性学习提供了可能。

四、设计反思

在教学设计中首先用学生熟悉的定理和情境进行引入，激发学生的疑惑和求知欲。用问题串的形式引导学生进行思考，问题解决的魅力不只是让学生获得具体问题的答案，更多的是学生在问题解决过程中获得能力的提高。

教学设计要依据学生学习的心理过程设计，为发展学生的思维而设计，而不是为获得某个结论而设计。呈现形式的精炼，并不一定代表思维过程的简单，只有学生充分探索了、经历了，才能更好地感悟教材呈现方式中经典数学思维的简洁美。本小节片断课的设计充分考虑了学生的知识基础以及学习心理特点，将问题设置在最近发展区，逐步引导学生进行思路的拓展和问题的深入探究，符合学生对该部分知识的认知特点。而且在设计过程中，体现出培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的教学环节，可以为基于核心素养提升的高中数学教学设计提供参考。