关于网络商品定价的数学模型研究

顾子毅

内容摘要：互联网的飞速发展和现代物流的崛起促进了需求者网络购物的发展。本文主要研究短期非完全竞争网络市场中商品的最优定价问题，并根据研究结论得出调整策略。

关键词：网购定价 购买概率 微分方程模型 三维图像分析 多约束优化

基本假设

基于对问题的分析，本文做出以下假设：文中讨论的商品邮费为定值，且商品为包邮商品；需求者购买时考虑周全并且理性，网购经验丰富，而且各个需求者心理是类似的；销售商品为非食品类生活常用品（即商品质量不必完美），价格适中，各个阶层的需求者均会购买；市场存在许多同类竞争者，但又非完全竞争市场。

问题分析

本文主要研究短期行为中（库存量为定值）供给者的定价策略。首先，从经济学角度进行分析。由于只考察供给者的短期行为，因此可以认为供给不变。另外，注意到在传统线下购物中，信息不对称的情况尤为突出，需求者只能知晓商品的价格，并通过目测估计商品的质量，因此价格对需求者的选择尤为重要。然而，在网络购物中，需求者可以获得诸如销量、供给者动态评分等信息，这都使得信息不对称的情况有所减弱。也正因此，需求者的决策不再取决于价格这一单一因素，而是取決于包括销量、动态评分等诸多因素。甚至有研究发现，价格甚至不是主导因素。鉴于此，本文抽象出购买概率这个概念，力图考虑各个因素来刻画网络商品的需求情况。

一般来说，某需求者在网上购物时会考虑如下因素：商品性能、价格、自身经济状况、商品信用评分、销量以及商品折扣率。上述因素会对某需求者是否购买产生影响。而对供给者来说，自己商品的总浏览量决定着会选择购买的需求者数量。建立图1所示逻辑关系。

购买概率模型

本文设概率为α，该概率是与价格P以及销量Q有关的函数，并受一些参数影响，且是由需求者主观心理因素决定。

（一）参数模型

1.商品性能U。U描述的是商品性能对需求者需求的满足度，类似于效用的概念。U值域为[0，1]，U越大，意味着该商品越符合需求者需求。

4.信用评分t，信用评分t直接反映了供给者店铺的信用情况，间接反映了商品质量的好坏。因此，可以直接利用信用评分表示商品的相对质量。

（二）模型的整合

逐个分析每个因素对α的影响，并得出α的表达式。商品性能U。由于商品性能直接影响需求者是否购买，因此U应为乘法项。价格P与自身经济状况以及销量Q两项并列影响，任一因素均不起决定影响。因此该组因素应用相加连接，并运用w与（1-w）分别描述其所占该整项的权重。信用评分t。信任程度亦直接影响需求者是否购买，若信任程度低，说明该商品质量欠佳，直接抑制购买。综合以上分析，结合以上表达式，得出关于 与的函数α。得到购买概率模型如下：

（三）购买概率的影响规律

1.价格对购买概率的影响。令t=96%，kN=-2，并取 we=0.5。给出当=1时，α- 图像，见图2所示。分析α表达式中重要变量对其影响并画出图像进行分析。

2.销量对购买概率的影响。取其它参数不变，得α--图像。见图3所示。从图3中可知，当销量较小时，需求者较关注价格。与此同时，由于人们缺乏对此供给者的信任，购买概率整体偏低。同时亦有因价格不同而导致关注点不同所致函数先递增后递减。当销量很高时，人们特别关注价格，价格较低时，α只有较小变化，仅当价格较高时才会因高价不去购买。但α值总体较高，即更愿意购买。

3.平均价格下价格因素权重对购买概率的影响。此时取=1，得α-we-图像。见图4所示。由图4可知，当we较大时，低价段α值总体较高，即更愿意购买；高价段α值总体较低，即不愿意购买。并且在区间内α存在峰值，即最愿意购买点。当we较小时，α变化不大，代表需求者对价格不敏感，仅当价格过高时才会减少购买。同时发现，在低价段时，α变化较小，但因为价格不同而导致关注点不同所致函数先递增后递减。在高价段时，需求者受价格刺激，使α迅速下降。研究还发现，存在某一价格比，使无论we取何值，α值相同。但该意义不明确，猜想与we有关，可待以后研究。在此， we可看成家庭经济状况的另一种表现，一般地，家庭经济越好，we越小。因此，此处亦可大致反映家庭经济情况对α的影响。

综合上述分析，大致符合生活实际，该模型可大致描述需求者购买概率的变化情况。

总利润模型

（一）销售量模型

分析当浏览量为B时，选择购买的数量，即为销售量Q。

（二）浏览量模型

分析由于价格与销量变化导致浏览量B的变化。在网购页面时，低价会吸引需求者，使B上升，高销量会使店铺排位靠前，吸引需求者，使B上升。考虑一个店铺降价的过程（涨价同理）。

第一过程：由于降价，会使更多人因降价浏览，但短时间销量未有较大变动，此时B不稳定，会上升至B1。第二过程：一段时间后，由于销量上升，店铺排位靠前，又会因销量吸引更多人浏览，之后店铺的情况不会有更大的变化，B趋于稳定至B2。

对于第一过程，变化后的B1与有关。P′0为初始供给者价格。现求解B1与的关系：

当→0，即价格很低时，浏览量很大，可视为趋于正无穷（但购买概率可能很低），即B1→+∞ 。而当 =1，即未变动时，浏览量不变，即B1（1）=B′0，B′0为初始供给者浏览量。当 →+∞，即价格很高时，浏览量很小，但会有极少数富裕的需求者购买，可视为趋于0，即 。

构造：，其中fB 是 的函数，并使B1满足分析条件。fB需满足当P∈（0，+∞） 时fB∈（0，+∞） ，且单调递减。由于浏览量涉及因素过多，在此定性地描述B。采用最简单的指数函数，令，发现当且仅当k=1时满足条件，取kB=2，得到：。该函数大致符合实际。

对第二过程，变化后的B2与有关，且是在B1的基础上变化。Q为变动后销量，Q′0为初始供给者销量。求解B2与的关系：

当→0 ，即无人购买时，由于价格等因素，浏览量很低，但需求者对销量变化较为敏感，因此变化率较大，数学形式为 ， 较大。当=1，即未变动时，浏览量不变，即B2（1）=B1。当 →+∞ 时，即销量很高时，浏览量很高，可视为正无穷。但需求者对销量变化不敏感，因此变化率较小，数学形式为。

可认为B2=gB·B1，其中gB是的函数，并使B满足分析条件。使用简洁的指数函数，发现当且仅当K=1时符合条件，得： 。该函数符合实际，满足条件。

（三）利润模型的建立

根据购买概率模型、销售量模型和浏览量模型，可以得出利润。为了得出利润，首先计算销售量。销售量为主要因素。分析发现，当P变动时浏览量首先变化，同时个人购买概率变化，而此时历史销量并无显著变化。这些因素共同使销量第一次显著变化（称为第一过程），而这销量的变化使供给者排位靠前，進而再一次显著影响浏览量。由于销量与浏览量变化，α再次变化，导致总销售量再次变化（称为第二过程）。而此时供给者销售排位已有显著变化，再度变化对客户影响较小，相对前两次变化在整体变化过程中可忽略。综上，价格变动会导致各个值有两次变动，已变动的次数由下标i表示。i=0、1、2，i=0意味着初始值。总结上文函数，有：

（四）模型的求解

在上文中得出的π并不能对其进行研究与估计。为得到一个较为精确的值，可令kQj，Uj为一定值。但wej 与 不能直接估计，因为对不同购买人群不同富裕程度的需求者的wej与的值差异很大。

对kN估计时取kQj=-2。对Uj的估计，可用Uj的平均值 U表示Uj：。不妨设Ui为定值U，U可由已知的P′0 与N′0 求得。再分析wej，不同家境的人关注价格程度（即w）不同，但无法获得每一个家庭的wej值。可认为wej与家庭富裕程度有关。本文采用恩格尔系数Ej衡量某家庭自身经济状况，并设E0为该人群的平均恩格尔系数。用函数大致描述wej随Ej的变化。wej随Ej的变化应满足：当 Ej→100%时，即极贫穷时，需求者只关注价格，且随着E′j 的变化，wej变化很小。数学形式为， 。当 Ej在20%-50%时，家庭富裕程度变化较快，因此Ej 较小时，wej变化较快，且当Ej=E0时，wej=w0。W0为E0的家庭的期望价格权重。数学形式为wej（E0）=w0。当 Ej→0，即十分富裕时，需求者基本不考虑价格，且Ej有小变动时we基本不变。数学形式为：，。

分析E′j的特点。在上文中之所以无法估值是因为αij 均不相同，现可通过求αij 的均值来得出Q2 。根据假设，各个阶层的需求者均会购买，因此，浏览该商品中的各个阶层的人所占总浏览人数的比例与在社会中各个阶层的人口占总人口的比值相同。

汇总以上分析，便可得出估算利润π具体数值。现在，π是P的函数，只需对π求极大值即可。求解结果：P′=106%P0。其中Q′0=Q0，E′0=70%μ=70%C=60%P0。供给者可根据自身情况对参数赋值，本文在此处只给出一例。

（五）结果分析

绘制出当Q′0=Q0、E′0=70%、μ=70%、C=60%P0时∏- 图像，其中的单位为1%。见图5所示。

1.成本对总利润的影响。MATLAB采用依据等高线的方式为图像着色，通过观察在C-面上段投影的等高线图图6可以看出，随着成本的变大，的值随之增大，这个结论是显然的。因此，成本是决定值大小的显著因素。在这里给出环境变化时供给者调整策略：当成本上升时，定价应提高。

2.购买人群平均富裕程度对总利润的影响。由∏-面上投影图像可知（见图7），μ较小时，π随的变化更多样，甚至出现利润为0的情况，而μ较大时π单调变化。分析其原因如下：家庭越不富裕，对价格越敏感，因此微小的价格变化对利润影响较大。通过观察在μ-面上投影的等高线图易看出，随着μ的变大，值有较大提高。分析其原因如下：家庭越富裕，对价格越不敏感，因此供给者可适当提高价格使利润提高。在这里给出环境变化时供给者调整策略：对富裕购买人群可调整采用高价位，对非富裕购买人群则相反。通过以上分析，得出了该模型一些有价值的结论，同时也证明了该模型大致符合生活实际，具有可行性。

参考文献：

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