LPQD序列的随机指标中心极限定理

逄雨欣, 王德辉, 谭希丽

(1. 吉林大学 数学研究所, 长春 130012; 2. 北华大学 数学与统计学院, 吉林 吉林 132013)

1 引言与主要结果

定义1[1]对于有限族随机变量ε1,ε2,…,εm, 如果

Cov{f(ε1,…,εm),g(ε1,…,εm)}≥0,

(1)

则称其为PA(positively associated)的. 其中f,g为m上任意按分量增的函数, 且保证式(1)中的协方差存在. 如果其任意有限子族为PA的, 则随机变量列{εn,n≥1}也称为PA的.

由定义1和定义2可知, PA随机变量列一定是LPQD的, 反之则不一定成立. PA随机变量在多元分析、 可靠性理论和渗透模型等领域应用广泛. 目前, 对PA随机变量的研究已取得了许多结果[3-8]. Newman[3]给出了其中心极限定理; Newman等[4]得到了其不变原理； Dabrowski[5]提出了泛函型重对数律； Prakasa Rao等[6]证明了PA序列的随机指标中心极限定理和Berry-Esseen界.

定义3定义随机变量X与Y之间的Kolmogorov距离为

dK(Tn,T(Z1,Z2))→0,n→∞,

(2)

且{Nn,n≥1}和{Xn,n≥1}独立. {δn=n-θ,n≥1}是一正数序列, 0<θ<1/2, 则存在正数c1和c2, 使得对充分大的n, 有

dK(Tn,T(Z1,Z2))≤c1·n-min{θ,1-2θ,1/5}+c2εn,

(3)

其中:εn是{Nn,n≥1}的Berry-Esseen界;Tn和T(Z1,Z2)同定理1.

由于LPQD序列是一种比PA序列更弱的序列, 因此本文将定理1和定理2推广到LPQD序列上, 即讨论LPQD序列的随机指标中心极限定理和Berry-Esseen界.

本文恒设{Nn,n≥1}是一列非负整数值随机变量序列, 且与{Xn,n≥1}独立, 并假设下列条件成立：

(H6) 假设对n充分大有

(4)

其中Z1和Z2同定理1. 在上述条件下, 本文主要结果如下:

定理3设{Xn,n≥1}为一严平稳LPQD随机变量序列, 满足条件(H1)和(H2). {Nn,n≥1}为一非负整数值随机变量序列, 满足条件(H4)和(H5), 且{Nn,n≥1}与{Xn,n≥1}独立, 则式(2)成立, 其中Z1和Z2同定理1.

2 主要结果的证明

引理1记P(Nn=k)=pn,k. 在假设条件(H1)下, 有

证明： 与文献[6]中引理2.1的证明类似, 故略.

引理2[6]设{Un,U,n≥1}为一随机变量序列, 满足U的分布函数是α-Lipschitz连续的(α>0).V是与{Un,U,n≥1}独立的随机变量, 满足E|V|<∞. 设g:→, 则对任意的常数及任意的z∈, 有

引理3[2]设{Xn,n≥1}为一严平稳LPQD随机变量序列, 且

则

其中Φ(x)是标准正态分布的分布函数.

2.1 定理3的证明

首先, 证明

dK(Tn,Tn(Z1))→0,n→∞.

(7)

利用全概率公式及{Xn,n≥1}与{Nn,n≥1}的独立性, 可知

其次, 证明

(Z1))→0,n→∞.

(8)

由条件(H2)有

因此, 由引理1、 条件(H4),(H5), 有

(9)

由条件(H4),(H5)及Markov不等式, 有

(10)

(11)

从而由式(9)及Slutsky定理, 有

(12)

下面证明

(Z1),T(Z1,Z2))→0,n→∞.

(13)

注意到

定理3证毕.

2.2 定理4的证明

首先, 估计dK(Tn,Tn(Z1)). 与定理3类似, 有

由引理5, 有

(15)

与定理3推导类似, 由Markov不等式及条件(H4)～(H6)知, 当n充分大时, 有

(16)

由式(14)～(16), 有

(17)

显然

J3≤cδn≤cn-θ.

(19)

由式(12)及式(4)有

J4≤cεn.

(20)

由式(18)～(21), 有

(Z1))≤cn-θ+cεn+cn2θ-1.

(22)

联合式(17),(22),(23), 并利用三角不等式可得结论. 定理4证毕.