一类非线性分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性

薛益民, 刘 洁, 戴振祥, 徐媛媛

(徐州工程学院 数学与物理科学学院, 江苏 徐州 221018)

分数阶微分方程具有深刻的物理背景和丰富的理论内涵,与整数阶微分方程相比,分数阶微分方程能够更真实地描述一些复杂的自然、物理、化学等现象和动态过程,因此,研究分数阶微分方程边值问题,对解决现实生活中的非线性问题具有重要意义.分数阶微分方程作为非线性分析的一个非常重要的分支发展迅速,受到众多学者关注[1-5],与此同时,分数阶微分方程耦合系统边值问题也日益得到重视,其在热力学、流体力学、生物科学、扩散过程等科学领域正在被广泛应用[6-9].

文献[10]运用锥上的不动点定理,得到以下非线性分数阶微分方程边值问题

文献[11]借助于锥拉伸与压缩不动点定理,给出如下非线性分数阶微分方程边值问题

文献[12]利用锥上的不动点定理和Leray-Schauder非线性抉择理论等方法,得到如下非线性分数阶微分方程边值问题

受文献[10-12]启发,本文研究下列非线性分数阶微分方程耦合系统边值问题

(1)

解的存在性,其中Dλ表示λ阶Riemann-Liouville分数阶导数,λ∈{α,β,γ,δ},2<α,β≤3,1<γ,δ≤2,1+γ≤α,1+δ≤β,f,g∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)).利用格林函数的性质和Guo-Krasnoselskii不动点定理,得到了该耦合系统解存在性的充分条件,并在文末举例说明了定理的适用性.

1 预备知识

为研究需要,列出必要的定义和引理,详见文献[13-17].

定义1[13-14]函数f:R+→R的α>0阶Riemann-Liouville积分为

其中右边在R+上逐点定义.

定义2[13-14]函数f:R+→R的α>0阶Riemann-Liouville导数为

其中,n=[α]+1,[α]表示实数α的整数部分,右边在R+上逐点定义.

引理2[13]若α,β>0,f(t)∈L[0,1],则有:

(i)DβIαf(t)=Iα-βf(t),α>β；

(ii)DαIαf(t)=f(t)；

(i) ‖Ax‖≤‖x‖,∀x∈P∩∂Ω1且‖Ax‖≥‖x‖,∀x∈P∩∂Ω2；

(ii) ‖Ax‖≥‖x‖,∀x∈P∩∂Ω1且‖Ax‖≤‖x‖,∀x∈P∩∂Ω2，

引理4对于y(t)∈C[0,1],2<α≤3,1<γ≤2,1+γ≤α,分数阶微分方程边值问题

(2)

Gα(t,s)=

(3)

证明由引理2的(iii),方程(2)等价于积分方程

u(t)=-Iαy(t)+c1tα-1+c2tα-2+c3tα-3=

c1tα-1+c2tα-2+c3tα-3.

(4)

由u(0)=0,可得c3=0.由引理2的(i)和(iv)可得

由Dγu(0)=Dγu(1)=0有

将c1、c2、c3代入(4)式有

类似可得

Gβ(t,s)=

引理5假设G(t,s)=(Gα(t,s),(Gβ(t,s)),则G(t,s)满足:

(i) 对∀t,s∈[0,1],有G(t,s)∈C([0,1]×[0,1])；

(ii) 对∀t,s∈[0,1],有G(t,s)≥0,且对∀t,s∈(0,1),有G(t,s)>0；

(iv) 对∀s∈[0,1],存在μ∈(0,1),使得

其中

μ=min{μα=(1/2)α-1,μβ=(1/2)β-1}.

证明为叙述方便,在G(t,s)的表达式中,记

0≤s≤t≤1;

由G(t,s)的表达式,易知(i)和(ii)成立.下面主要证明(iii)和(iv).

由2<α≤3,1<γ≤2,1+γ≤α可得α-γ-1≤α-2,从而有

0≤s≤t≤1;

0≤t≤s≤1,

因此Gα(t,s)关于t是单调增函数.类似可得,Gβ(t,s)关于t也是单调增函数,故(iii)成立.

由(iii)的证明过程有

(1/2)α-1Gα(1,s)=

(1/2)α-1Gα(1,s)=

因此

类似可得

故(iv)成立.

2 主要结论

借助格林函数的性质和Guo-Krasnoselskii不动点定理,研究耦合系统(1)解的存在性.令X={u(t):u(t)∈C([0,1],[0,∞))},对∀u∈X,定义范数

‖(u,v)‖=‖u‖+‖v‖,

易知(X×Y,‖(u,v)‖)是一Banach空间.定义锥U⊂X×Y为

U={(u,v)∈X×Y:u(t),v(t)≥0,

∀t∈[0,1]},

定义锥V⊂X×Y为

其中μα和μβ由引理5的(iv)给出.对∀(u,v)∈X×Y,定义算子T:X×Y→X×Y为

T(u,v)(t)=(Tαv(t),Tβu(t))=

(5)

由引理4知T的不动点即为耦合系统(1)的解.

引理6设f,g∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)),则算子T:U→U和T:V→V均是全连续的.

证明对(u,v)∈U,由f、g、Gα(t,s)和Gβ(t,s)的非负性,知Tαv(t),Tβu(t)≥0,因此T(U)⊂U,即T:U→U.接下来证明算子T:U→U一致有界.对∀(u,v)∈U,由f、g、Gα(t,s)和Gβ(t,s)的连续性,知算子T是连续的.令

Ω={(u,v):(u,v)∈U,‖(u,v)‖≤h,

h>0,t∈[0,1]},

则Ω是U的一个非空有界闭子集.由f、g的连续性知,对∀(u,v)∈Ω,t∈[0,1],存在K1,K2>0,使得

|f(t,v(t))|≤K1, |g(t,u(t))|≤K2.

由Gα(t,s)和Gβ(t,s)的非负性有

因此

‖T(u,v)‖≤

即T(Ω)一致有界.下面证明算子T:U→U等度连续.对∀t,s∈[0,1],由引理5的(i)知Gα(t,s)是连续的,从而Gα(t,s)在[0,1]×[0,1]上一致连续.因此,对固定的s∈[0,1]和∀ε>0,存在δ>0,当t1,t2∈[0,1]且|t2-t1|<δ时,有

|Gα(t2,s)-Gα(t1,s)|<ε/2K1,

所以

|Tαv(t2)-Tαv(t1)|=

(6)

类似可得

|Tβu(t2)-Tβu(t1)|=

(7)

由(6)和(7)式可得

‖T(u,v)(t2)-T(u,v)(t1)‖<ε.

因此,算子T:U→U是等度连续的.由Arzela-Ascoli定理知算子T:U→U是全连续的.下面证明T(V)⊂V.对∀(u,v)∈U,t∈[1/2,1],由引理5的(iv),对∀(u,v)∈U,t∈[1/2,1]有

(8)

由引理5的(iii)有

(9)

由(8)和(9)式可得

Tαv(t)≥μα‖Tαv‖, ∀t∈[1/2,1].

类似可得

Tβu(t)≥μβ‖Tβu‖, ∀t∈[1/2,1].

由U和T定义易知T(u,v)∈U.因此T(u,v)∈V,即T(V)⊂V.接下来,类似T:U→U的全连续证明过程,易证T:V→V是全连续的.

为叙述方便,记:

其中μ由引理5的(iv)给出.

定理1设f,g∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)),如果下列条件成立:

(I1)f0+=g0+=∞；

(I2) 存在常数a1,a2>0且a1+a2≤1满足

0≤f∞

则耦合系统(1)至少有一个解.

证明由(I1)可知存在常数r满足

f(t,v)≥M1v,

(t,v)∈[0,1]×[0,r],

(10)

和

g(t,u)≥M2u,

(t,u)∈[0,1]×[0,r],

(11)

其中

M1≥Lα, M2≥Lβ.

令

Ωr={(u,v):(u,v)∈X×Y,‖(u,v)‖

设(u,v)∈V∩∂Ωr,对s∈[1/2,1],由V的定义有

类似可得

μβ‖u‖≥μ‖u‖.

(12)

设t∈[1/2,1],由(10)、(12)式和引理5的(iv),对∀(u,v)∈V∩∂Ωr,有

‖Tαv(t)‖≥Tαv(t)=

(13)

即

‖Tαv(t)‖≥‖v‖.

由(11)、(13)式和引理5的(iv),对∀(u,v)∈V∩∂Ωr有

‖Tβu(t)‖≥Tβu(t)=

即

‖Tβu(t)‖≥‖u‖.

因此

‖T(u,v)‖=‖Tαv(t)‖+‖Tβu(t)‖≥

‖v‖+‖u‖=‖(u,v)‖,

即

‖T(u,v)‖≥‖(u,v)‖,

∀(u,v)∈V∩∂Ωr.

另一方面,由(I2),可选择充分小的正常数ε1和ε2满足

0<ε1

0<ε2

因此,存在常数b>0满足

f(t,v)≤(f∞+ε1)v,

(t,v)∈[0,1]×(b,∞),

(14)

和

g(t,u)≤(g∞+ε2)u,

(t,u)∈[0,1]×(b,∞).

(15)

由f,g∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)),可知存在非负常数Nα、Nβ使得

(16)

由(14)～(16)式可得

f(t,v)≤(f∞+ε1)v+Nα,

(t,v)∈[0,1]×[0,∞),

(17)

和

g(t,u)≤(g∞+ε2)u+Nβ,

(t,u)∈[0,1]×[0,∞).

(18)

令

ΩR={(u,v):(u,v)∈X×Y,‖(u,v)‖

其中

(19)

由引理5的(iii)、(17)和(19)式,对∀(u,v)∈V∩∂ΩR,t∈[0,1]有

因此

‖Tαv(t)‖≤a1‖(u,v)‖,

∀(u,v)∈V∩∂ΩR.

由引理5的(iii)、(18)和(19)式,对∀(u,v)∈V∩∂ΩR,t∈[0,1]有

因此

‖Tβu(t)‖≤a2‖(u,v)‖,

∀(u,v)∈V∩∂ΩR.

所以

‖T(u,v)‖=‖Tαv‖+‖Tβu‖≤

a1‖(u,v)‖+a2‖(u,v)‖=

(a1+a2)‖(u,v)‖≤‖(u,v)‖,

即

‖T(u,v)‖≤‖(u,v)‖,

∀(u,v)∈V∩∂ΩR.

3 应用举例

下面给出一个例子以验证定理的适用性.

例1考虑如下非线性Riemann-Liouville型分数阶微分方程耦合系统边值问题

0

0

u(0)=D3/2u(0)=D3/2u(1)=0,

v(0)=D5/4v(0)=D5/4v(1)=0,

(20)

其中

2<α=5/2,β=7/3≤3,

1<γ=3/2,δ=5/4≤2,

满足

1+γ≤α, 1+δ≤β.

令

(t,v)∈[0,1]×[0,∞),

(t,u)∈[0,1]×[0,∞),

易知

f,g∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)),

f0+=g0+=∞,f∞=g∞=0.

根据定理1,耦合系统(20)至少有一个解.

致谢徐州工程学院培育项目(XKY2017113)对本文给予了资助,谨致谢意.