炮弹发射弹道目标精度校正估计仿真*

吴清怡， 吴中红

(海军工程大学 电子工程学院， 武汉 430033)

准确、实时的弹道估计可大幅度提高炮弹观测与校正的精确度，优化武器系统的作战效能.在实际弹丸定位过程中，常采用传感器[1-2]、全球定位系统[3-4]和雷达[5]等无线定位手段，以实现弹道的估计.但这些定位技术仍存在易受大气和噪声等环境因素影响，抗干扰性弱，测量实时性较低，不能对记录目标进行准确标记等问题.因此，本文采用超宽带(ultra-wide band，UWB)技术，利用该技术不易受环境因素影响、抗干扰性强、启动时间短、体积小、易安装和多条数据同时记录等优点，可有效解决上述问题.

文献[6-12]对几种弹道估计的滤波方法进行了分析对比.文献[6]提出了一种基于空域追踪的修正算法，通过非线性滤波器从原始信号中粗提出基线信号，利用多步迭代微分算子消除噪声误差；文献[7-8]采用扩展卡尔曼滤波(EKF)降低目标定位误差；文献[9-10]使用无迹卡尔曼滤波(UKF)，通过提高滤波的收敛速度来实现优化估计精度的目的；文献[11]提出了引入积分预测算法来减少离散卡尔曼滤波器一步预测的误差；文献[12]采用方差补偿方法建立自适应卡尔曼滤波算法完成目标跟踪.其中，EKF由非线性方程进行泰勒展开保留一次项得到，由于其忽略了高次项使得精度降低，且EKF对初始值较敏感，设置不当易造成滤波发散，需要计算雅克比矩阵，复杂度较高；UKF是一种求采样点的非线性滤波方法，计算精度可达到二阶或三阶的泰勒展开精度，性能优于EKF，但当非线性系统维度大于3时，该方法很有可能受到非正定协方差的影响，造成滤波发散，使估计精度大大降低.

为了避免出现非正定协方差，本文采用平方根无迹卡尔曼滤波(square root unscented Kalman filter，SRUKF)进行弹道估计，仿真结果表明，EKF具有较低的复杂度，但估计精度明显低于SRUKF和UKF，且SRUKF与UKF相比具有较强的稳定性.综上所述，在针对六维弹道估计问题上，EKF、UKF、SRUKF三种滤波方式中，SRUKF具有最优越的综合性能.

1 模型建立

本文以质点弹道方程为依据建立模型，坐标系中Y轴与地面相垂直，弹丸质点坐标为(xk，yk，zk)；各定位基站坐标分别为(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)，…，(xk，yk，zk)，定位基站i相对于弹丸目标的俯仰角为αi，方位角为βi，定位系统模型如图1所示.

图1 定位系统模型Fig.1 Model for location system

1.1 系统状态方程

为了简化定位算法的复杂度，以质点弹道方程为依据建立系统状态方程，现假设弹丸为一质点，该质点的位置坐标与各方向上的速度表示为[x，y，z，Vx，Vy，Vz]T，则质点弹道方程组[13]可表示为

(1)

当y≤10 000 m时，空气密度函数依据经验公式[13]可表示为

(2)

空气阻力函数表达式[13]为

(3)

G(Vx)=4.737×10-4VCXONVx/Cs

(4)

综上所述，选取弹丸位置、速度(x，y，z，Vx，Vy，Vz)为状态变量，设X=[x1，x2，x3，x4，x5，x6]T，则离散状态方程可表示为

Xk+1= f(Xk)+wk=

(5)

式中：f()为状态转移函数；ΔT为抽样时间间隔；wk为过程噪声，其均值为零，协方差为Qk.该方程在计算过程中必然会存在受各种因素影响所产生的误差，因此需要对误差进行补偿处理.

1.2 系统测量方程

系统采用测量到达时间差与到达角度的方法建立系统测量方程.将1号定位基站设为参考基站，系统需要测量相对于参考基站各基站接收目标信号所需要的时间差Δti1，以及各个基站接收目标信号的俯仰角αi与方位角βi.

1.2.1 基于到达时间差的测量方程

基于到达时间差测量方程的表达式为

(6)

(7)

(8)

式中：ri为定位基站i与目标弹丸的距离；ti为第i个基站接收目标信号所需时间；t1为第1个基站接收目标信号所需时间；r1为第1个基站与目标的距离；c为电波传播速度.由式(6)～(8)可得基于TDOA算法的测量方程，即

vk-TDOA

(9)

式中，vk-TDOA为测量到达时间差的测量噪声.

1.2.2 基于角度的测量方程

设第i个基站测得目标俯仰角为αi，方位角为βi，则有

(10)

由式(10)可得，基于AOA方法的测量方程为

vk-AOA

(11)

式中，vk-AOA为测量角度时的测量噪声.

1.2.3 到达时间差与角度联合的测量方程

基于到达时间差与角度联合的测量方程所需测量值为z=[ri1，α，β]T，则测量方程为

(12)

2 SRUKF滤波算法

无迹卡尔曼滤波算法(UKF)通过选取一组采样点(sigma点)来计算系统的协方差，有效提高了估计精度，降低了算法复杂度，在解决非线性问题中具有广泛的应用[14].但是，该方法在使用过程中可能会出现非正定协方差，导致滤波不稳定甚至发散.为了解决这一问题，Steven等[15]于2008年提出平方根无迹卡尔曼滤波.SRUKF建立在UKF的基础上，直接利用协方差矩阵的平方根参与递推运算，避免了协方差的非正定性，能有效提高滤波稳定性.

使用SRUKF算法，首先需要建立非线性的状态方程与测量方程[16]，即

(13)

具体步骤如下：

1) 初始化，其表达式为

(14)

(15)

式中，Xa为扩充状态向量，Xa=[XT，WT，VT]，XT为状态变量，WT为系统噪声，VT为观测噪声.

2) 选取权值，即

(16)

3) 取sigma点，即

(17)

4) 预测误差协方差，其表达式为

(18)

式中：qr表示QR分解；cholupdate表示choleskey一级更新.

5) 预测互协方差平方根，计算一步预测、方差以及互协方差平方根，其表达式为

(19)

6) 计算状态误差方差平方根，即

(20)

结合式(14)～(20)，通过UWB设备中定位基站测得的炮弹坐标为系统提供采样点，则可实现基于平方根无迹卡尔曼滤波算法的弹道估计.

3 算法仿真及结果分析

在实弹试验中设置坐标系，将发射起点布设在X0=[20 000，0，80，-879，190，-12]T坐标点上，定位基站分别布设在坐标原点、(50，0，0)、(-50，0，0)三个坐标点上，发射后，通过高清摄像和UWB设备可得两组轨迹，如图2所示.由高清摄像所得轨迹为炮弹实际运动轨迹，通过UWB设备所得轨迹为炮弹测量轨迹.由图2可知，UWB测量轨迹相对误差较大，需对其测量结果作进一步校正.在上述试验的基础上，使用EKF、UKF、SRUKF三种滤波算法对UWB测量轨迹进行仿真处理，并分析仿真结果.首先设状态变量X=[x，y，z，Vx，Vy，Vz]T的初始值为X0=[20 000，0，80，-879，190，-12]T；测量TDOA的定位基站坐标分别为BS1(50，0，0)、BS2(-50，0，0)；测量方位角与俯仰角角度的定位基站坐标为BS3(0，0，0)；ΔT为0.25s；纵风Wx为10m/s；横风Wz为10m/s；过程噪声方差q=1；距离测量噪声标准差σr=50m；角度测量噪声标准差σα=σβ=0.5°.

图2 弹道运动轨迹与测量轨迹Fig.2 Motion and measurement trajectories

现以均方根误差(root mean square error，RMSE)为评判依据，对EKF、UKF、SRUKF三种滤波的性能进行仿真与分析，即

(21)

根据设置初始条件和参数，进行300次Monte-Carlo仿真，其中，UKF算法在运行过程中由于出现非正定协方差矩阵将仿真次数缩减为200次，EKF、UKF、SRUKF三种滤波算法所得目标位置与速度的误差对比曲线如图3、4所示，误差均值对比如表1所示，200次Monte-Carlo仿真运行时间对比如表2所示.

图3 三种滤波方式的位置均方根误差Fig.3 RMSE of position for three filtering ways

由图3、4可以看出，在三种滤波方式中，SRUKF估计精度最高，UKF略低，EKF估计精度明显低于前两者.由表1可以看出，SRUKF较EKF和UKF的位置估计精度分别提高了42.11%和9.84%，速度估计精度分别提高了31.13%和7.98%.由表2可以看出，UKF与SRUKF所需时间分别是EKF的2.8和2.4倍，由此可知，EKF复杂度明显低于UKF和SRUKF，SRUKF由于直接使用协方差的平方根进行递推和计算，其复杂度略低于UKF，运行时间是UKF的86%.

图4 三种滤波方式的速度均方根误差Fig.4 RMSE of speed for three filtering ways 表1 各算法精度对比Tab.1 Comparison in accuracy of each algorithm

表2 三种滤波方式运行时间Tab.2 Running time of three filtering ways

4 结 论

通过仿真试验表明，采用SRUKF进行滤波估计能较好地克服UKF的协方差非正定和复杂度较高等问题，且估计精度较EKF与UKF相比均有所提高，保证了弹道估计的高效性、稳定性及精确度.但在试验过程中发现，该方法在使用的过程中，基站的布设以及噪声的不确定性对定位精度仍具有较大的影响，需要做出进一步的研究和改进.