“一个数除以分数”教学思考

钟淑燕 周永庆

“一个数除以分数”是义务教育课教科书六年级上册第三单元“分数除法”中的内容，一个数除以分数的计算，包括整数除以分数和分数除以分数两种情况。在教材例2中，解决“谁走得快一些”这一实际问题的过程中，自然列出两个算式，列式的依据是“路程÷时间=速度”的数量关系，与以前不同的是路程、时间由整数变成了分数。由于学生对数量关系比较熟悉，所以学生对列出除法算式不会感到困难，本节课的重点是理解一个数除以分数的计算算理。在教学中，我从以下几方面进行思考：

一、巧用“猜想”，引发“思考”

让学生在计算中学会“数学思考”是数学追求的理想和境界，也是数学学习的本质要求，而 “猜想”不仅能引发学生的“思考”，还可以激发学生求知的欲望。教师出示例2的情境图，学生在理解题意的基础上，很快就能根据“速度=路程÷时间”列出算式：2÷■，■÷■，教师板书算式后，让学生猜一猜：“一个数除以分数”可以怎么算呢？先让学生与同桌说说自己的猜想。由于已经有了“分数除以整数”的基础，大部分学生会想到像分数除以整数一样，乘除数的倒数，如，2÷■=2×■=3；也会有部分學生受分数乘法的影响，会认为应该像分数乘法一样，用分子除以分子，分母除以分母，如：2÷■=■=■。“猜”是为了更好地鼓励学生“想”，小学生的好奇心比较强，不论他们“猜”的结果如何，他们都会对自己的“猜想”充满期待，看似简单的“猜想”，让即将探究的计算算理变得很神秘，也使计算课更有活力。

二、借助线段，分析“算理”

“验证”是探究算理的重要环节，在验证“2÷■”的计算方法时，学生会用不同的方式去验证，可利用“商×除数=被除数”验证，因为2÷■=2×■=3，而3×■=2，说明计算结果是对的；也可用“分数与除法的关系”来说明，即：2÷（2÷3）=2÷2×3=3；还可用商不变的性质来推导，即：2÷■=（2×3）÷（■×3）=6÷2=3。不管学生用哪种方法验证，先让学生思考：每小时行的比2 km多还是少，再引导学生通过直观的线段图来分析说明算理：

■小时是把1小时平均分成3份，取其中的2份，有2个■小时。只要把其中的1份路程求出来，就能求出3份的路程，而已知2份的路程，求其中的一份，就是乘，即2×■，1小时有3个■小时，1小时走了多少千米？列式就是“2×■×3”，利用乘法结合律得到“2÷■=2×■×3=2×■=3”。通过线段图，帮助学生深入理解算理，使学生直观地看到由除到乘的转化过程。教师在该环节要保证足够的时间让学生经历探索的过程，这一过程是提高学生推理能力、培养学生探究精神、体会几何直观思想、形成问题解决能力的最佳机会。验证第二种猜想（分子除以分子，分母除以分母）时，让学生任意选择算式验证，使学生明白用分子除以分子、分母除以分母也可行。如：■÷■=■=■可行，计算2÷■=■÷■=■=■=3和■÷■=■=■=2也都可行。在学生理解算理的基础上，再引导学生观察计算过程中算式在形式上有什么变化，使学生看到■变成了■，除号也变成了乘号。

三、利用迁移，提炼算理

理解“2÷■”算理后，计算小红的速度时，教师不需引导得太多，放手让学生自己尝试，使学生在整数除以分数的基础上通过迁移类推：■÷■=■×■=2（km）。学生反馈时，重点让学生交流“×■”的理由，为了使学生更清晰理解算理，可以用分析“2÷■”算理的方法，让学生自己画线段图加以说明：■小时就是把1小时平均分成12份，取其中的5份，5份中的1份恰好就是■的■，列式为■×■，12份就是“■×■×12”，得到“■×■”。到此为止，学生已经学习了分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数三类分数除法，在总结计算方法时，教师先板书三类分数除法的计算过程：■÷2=■×■=■；2÷■=2×■=3；■÷■=■×■=2，再引导学生用语言描述，如：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数，也可用字母或符号表示，如：a÷b（b≠0）=a×■，只要正确，都应给予肯定，以提高学生的语言表达能力和抽象概括能力，并让学生观察总结三个算式计算要点：一是被除数不变；二是除号变乘号；三是除数变成它的倒数，掌握“变与不变”的计算要领，逐步抽象一个数除以分数的算法，与抽象建模的思想相渗透，再明确算法。

总之，算理的突破是小学数学计算教学的重难点，在教学时，应遵循算理与算法并存、算理与算法并重的原则，借助直观的教学手段及方法迁移帮助学生理解算理，并给学生创造数学思考的平台，学生在掌握计算方法的同时，感悟数学思想方法，才能为今后的持续发展奠定坚实的基础。