例析解决问题中的数学思考方式

吴竹月

解决问题是学生学习数学的基本形式。《人人关注数学教育的未来》指出：数学提供了有特色的思考方式，包括建立模型，抽象化、最优化、逻辑分析、从数据进行推断以及运用符号等，它们是普遍适用并且强有力的思考方式。因此，小学数学教学中，教师要授之以渔，有意识地“教会青年人去思考”，培养学生“有益的思考方式及应有的思维习惯”，把数学思考贯穿于解决问题的始终，引导学生在解决问题的同时，认识并逐步掌握数学思考方式，发展数学思维，为学生自主探索解决问题，实现可持续发展奠定坚实的基础。

一、形象化思考方式

有些数学问题数量关系比较复杂，题意不够直观清晰，可以借助形象化的直观图形把题中的条件和问题表示出来，再对照图形分析，从而发现题中的数量关系，寻找到解决问题的方法。

例1 一根铁丝剪去12米后，又用去了余下的，还剩下36米。这根铁丝原来长多少米？

分析：根据题意，可以画出如下线段图，将题中的条件和问题清楚地表示出来。从图中可以很容易看出：“用去余下的”后，“还剩下36米”相当于余下的（1-）=，根据数量关系“余下铁丝长×=36米”，可以列式求出余下铁丝长36÷=60（米）。所以，这根铁丝原来长60+12=72（米）。

二、动态化思考方式

有些数学问题静态思考，直接解决比较复杂，甚至难以解答，可以将问题中的某些条件或情境动态处理，用运动变化的观点去思考，在“动”中生成解决问题所需的条件，从而顺利解决问题。

例2 如下左图所示直角三角形ABC中，四边形DBEF是一个正方形。已知AF长10厘米，FC长15厘米，求图中阴影部分的面积。

分析：根据题中已知条件，无法直接求图中阴影部分面积。分析图中阴影部分两个三角形的角的度数及边的长度，就会发现可以利用动态化思考方式，将左上角阴影部分三角形绕F点逆时针旋转至DF边与FE边重合，这时阴影部分刚好是一个两直角边分别为10厘米、15厘米的直角三角形，由此可求出图中阴影部分面积是15×10÷2=75（平方厘米）。

三、特殊化思考方式

有些数学问题条件复杂，不易发现数量之间的关系，可以将问题中的某个一般化条件特殊化，由此得出一些关系和结论，与其他已知条件产生差异和矛盾，通过分析差异和矛盾的原因打开解决问题的思路，从而解决问题。

例3 学校五、六年级共有学生630人，五年级学生的与六年级学生的共408人参加学校社团活动。五、六年级各有多少学生？

分析：题中条件“五年级学生的与六年级学生的共408人”中的数量关系复杂，不易解决。可以特殊化为“五、六年级都有的学生参加学校社团活动”，由此得到参加学校社团活动的学生应该有630×=360（人），而实际“五年级与六年级共408人参加学校社团活动”，参加学校社团活动的人数相差408-360=48（人）。分析这个“差”的原因是因为把“六年级学生的”特殊为“六年级学生的”，少算-=。即“六年级×=48”，可以求出六年级学生有48÷=336（人），五年级学生有630-336=294（人）。当然，也可以特殊为“五、六年级都有的学生参加学校社团活动”，再寻找数量之间的关系来解决。

四、逆向化思考方式

解决某些数学问题，正向思考往往繁琐、复杂，甚至难以解决，而采取逆向化思考方式如同剥笋，逐层深入，往往容易发现数量之间的本质联系，使问题迅速得到解决。

例4 一批水果，第一天卖出总数的少10千克，第二天卖出余下的多3千克，还剩25千克没有卖。这批水果共有多少千克？

分析：从问题出发，以还剩25页千克没有卖为思考起点，进行逆向化思考比顺向思考要容易很多。还剩25千克是第二天卖出余下的多3千克后剩下的数量，因而第二天卖出余下的后应剩25+3=28（千克），所以第一天卖出总数的少10千克后余下的数量应当是28÷（1-）=70（千克）。进一步逆向思考，如果第一天刚好卖出总数的而不少10千克，就会余下70-10=60（千克），所以这批水果的总数应当是60÷（1-）=120（千克）。

五、模型化思考方式

有些数学问题比较复杂，却具有一定的规律性，可以先引导学生由简单入手，抓住问题的本质特征构造恰当的数学模型，再运用构造的数学模型来思考原来的数学问题，就会使问题顺利得到解决。

例5 用边长1厘米的小正方形拼成一个边长8厘米的大正方形，这个大正方形中共有多少个正方形？

分析：直接思考有难度，可以先思考简单情况：用边长1厘米的小正方形拼成一个边长1厘米、2厘米、3厘米、4厘米的大正方形，大正方形中分别有1个、1+4=5（个）、1+4+9=14（个）、1+4+9+16=30（个）正方形……观察思考不断变换的边长与大正方形中的正方形个数，可以发现随着边长的增加，每次都增加了边长的平方个正方形。通过这样的模型化思考，可以迅速得到这个边长8厘米的大正方形中共有1+4+9+16+25+36+49+64=204（个）正方形。

六、分类化思考方式

有些数学问题比较复杂，需要根据问题的实际情况进行分类思考，注意思考各类情况，再综合思考，使复杂问题变得简单，从而得到解决。

例6 把一个长8厘米，宽6厘米，高5厘米的长方体木块分割成形状、大小相同的两个长方体。表面积最多增加多少平方厘米？

分析：显然，无论从哪条棱分割，都比原来长方体多了两个分割面，但不同的分割方法，增加的表面积是不同的，不能直接求出分割后表面积最多增加多少平方厘米。题中没有说明从长、宽、高中的哪条棱进行，需要分三种分割情况（如下图）逐一解答：从长方体的“长”分割增加6×5×2=60（平方厘米），从长方体的“宽”分割增加8×5×2=80（平方厘米），從长方体的“高”分割增加8×6×2=96（平方厘米）。由此可得分割后表面积最多增加96平方厘米。

七、推理化思考方式

就是引导学生根据已知条件之间的关系，进行推理分析，逐步寻求未知问题的结论，从而解决问题。

例7 一个长方体，如果长减少2厘米，就成为一个正方体，这时，正方体的表面积是96平方厘米，原来长方体的体积是多少？

分析：根据“如果长减少2厘米，就成为一个正方体”可知，原来长方体的宽和高相等。又已知这时正方体的表面积是96平方厘米，由此可知正方体的一个正方形面的面积是96÷6=16（平方厘米），根据正方形的面积=边长×边长，可得到正方形的边长，即正方体的棱长是4厘米，原来长方体的长是4+2=6（厘米）。因此，原来长方体的体积是6×4×4=96（立方厘米）。

综上可见，学生数学思考方式是在解决问题的过程中逐步形成和积累的，需要教师有意识地引导学生体验所运用的数学思考方式，重视引导学生对思考过程进行回顾反思，提炼蕴含其中的数学思考方式，逐步领悟、积累和掌握其中的数学思考方式，提高学生终身可持续发展的能力。