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单位圆周上具有重极点的Z变换与傅里叶变换相互计算的方法*

2018-09-29陈绍荣朱行涛刘郁林

通信技术 2018年9期
关键词:傅里叶平面解析

陈绍荣,何 健,朱行涛,刘郁林

(1.陆军工程大学通信士官学校,重庆 400035;2.军委装备发展部军事代表局驻成都地区军事代表室,四川 成都 610041;3.重庆市经信委,重庆 400015)

0 引 言

在国内外《数字信号处理》教材及著作[1-4]中,针对序列的DTFT与ZT的互相表出问题,仅给出序列ZT的收敛域包含Z平面的单位圆周和序列的DTFT在Z平面的单位圆周上解析时序列的DTFT与ZT的代换关系。然而,这种简单的代换关系,不是在任何序列情况下均成立。本文将单位圆周上具有重极点的ZT分解成单位圆周上含极点和不含极点两部分之和,将序列的DTFT分解成解析部分与不解析部分之和,研究了序列的DTFT与ZT之间的关系,不仅解决了单位圆周上具有重极点的ZT与DTFT的相互计算问题,而且得到了一些有益的结论。

1 由序列的Z变换确定其傅里叶变换

从逆ZT的计算可知,若双边序列f(k)的Z变换F(z)的收敛域为va<|z|<vb,则双边序列f(k)中,因果序列对应F(z)的区内极点zi(i=1,2,…,p)(即|zi|≤va的极点),反因果序列对应F(z)的区外极点ze(e=1,2,…,q)(即|ze|≥vb的极点)。

1.1 若满足条件va<1<vb

考虑到va<1<vb,则F(z)的收敛域va<|z|<vb包含Z平面上的单位圆周z=ejω,那么复变量z可在单位圆周上取值,即可令z=ejω。于是,从序列f(k)的Z变换F(z)获得了序列f(k)的傅里叶变换(DTFT),即:

1.2 若F(z)在Z平面单位圆周上存在极点

由式(2)可知,将F(z)在Z平面单位圆周上的极点分离出来,使F1(z)的收敛域扩大,且包含Z平面的单位圆周z=ejω;F2(z)仅存在区内极点zi(i=1,2,…,p),且满足max=1。显然,F2(z)的区内极点是F(z)的区内极点,且F2(z)对应的序列F2(k)为因果序列。

(1)若F(z)在Z平面单位圆周上仅存在区内单极点zi=ejωi(i=1,2,…,p),则式(2)可写成:

式中,系数Ai(i=1,2,…,p)可利用留数进行计算,即:

式(3)中,将z用ejω代换,则有:

对式(3)取逆ZT,可得:

由于:

对式(6)两边取DTFT,并考虑到DTFT的频移性质、式(7)及式(5),则有:

式中,系数Ai(i=1,2,…,p)利用式(4)进行计算。

(2)若F(z)在Z平面单位圆周上仅存在区内n重极点zl=ejωl,则式(2)可写成:

式中,系数Bi(i=1,2,…,n)利用式(10)进行计算,即:

在式(9)中,将z用ejω代换,则有:

对式(9)两边取逆ZT,可得:

考虑到式(7)、DTFT的频域微分性质及DTFT的时移性质,则有:

同理,可得:

式中, Xλ(ω)=δ ′(ω)−jλδ(ω),λ=1,2。

对式(14)进行推广,可得ZT在Z平面单位圆周上具有 n +1阶极点的因果序列的频谱计算公式,即:

式中, Xλ(ω)=δ ′(ω)−jλδ(ω),λ=1,2,…,n。

对式(12)两边取DTFT,并考虑到DTFT的频移性质、式(15)及式(11),则有:

式中,Xλ(ω)=δ′(ω)−jλδ(ω),λ=1,2,…,n−i,系数(i=1,2,…,n)利用式(10)进行计算。

同理,由式(17)可导出式(18),即:

式中,Xλ(ω)=δ′(ω)−jλδ(ω),λ=1,2,…,n−i,系数Ai(i=1,2,…,p)及Bi(i=1,2,…,n)分别利用式(4)及式(10)进行计算。

1.2.2 va<<1时

若va<<1,则F(z)可写成:

由式(19)可知,将F(z)在Z平面的单位圆周上的极点分离出来,使F1(z)的收敛域扩大,并且包含Z平面的单位圆周;F2(z)仅存在区外极点ze(e=1,2,…,q),且满足min=1 。显然,F2(z)的区外极点正是F(z)的区外极点,且F2(z)对应的序列F2(k)为反因果序列。

同理,由式(20)可导出式(21),即:

式中,Xλ(ω)=δ′(ω)−jλδ(ω),λ=1,2,…,n−i,系数Ae(e=1,2,…,q)及Bi(i=1,2,…,n)分别用式(22)及式(23)进行计算,即:

1.3 若满足条件va<<vb<1

考虑到va<<vb<1,将F(z)展成部分分式F(z)=F1(z)+F2(z)时,则F2(z)中至少存在一项,其极点z成为F(z)的区外极点,e且满足=vb<1。若令z=,则Z变换Fe(z)对应的反因果序列(k)=−(−k−1)不满足绝对可和条件,即:

1.4 若满足条件1<va<<vb

考虑到1<va<<vb,将F(z)展成部分分式F(z)=F1(z)+F2(z)时,则F1(z)中至少存在一项其极点z成为F(z)的区内极点,i且满足=va>1。若令z=ejω,则Z变换Fi(z)对应的因果序列(k)=Mε(k)不满足绝对可和 条件,即:

由式(25)可知,Fi(ejω)不存在,因此F(ejω)不存在。

结论1:若序列F(k)的Z变换F(z)的收敛域及收敛域的边界均不包含Z平面的单位圆周z=ejω,则序列F(k)的傅里叶变换F(ejω)不存在。

2 由序列的傅里叶变换确定其Z变换

2.1 若F(ejω)在Z平面单位圆周z=ejω上解析

所谓函数F(ejω)在Z平面单位圆周z=ejω上解析,即表明函数F(ejω)在z=ejω上处处可导,亦即函数F(ejω)的导函数满。因此,函数F(ejω)在Z平面单位圆周z=ejω上解析,意味着Z平面单位圆周z=ejω应包括在F(z)的收敛域va<<vb内,即va及vb应满足va<1<vb。当然,可以直接将ejω换成z,即:

当获得F(z)后,其收敛域可用一个与单位圆周重合但能内外移动的圆周搜索决定:往内碰到F(z)的第一个极点,就是收敛域的内边界圆周=va;往外碰到F(z)的第一个极点,就是收敛域的外边界圆周=vb。

2.2 若F(ejω)在Z平面单位圆周z=ejω上不解析

因为函数F(ejω)在Z平面单位圆周z=ejω上不解析,所以单位圆周z=ejω应在F(z)的收敛域之外,不能直接将ejω换成z。双边Z变换F(z)有可能不存在,也可能存在。即使存在,单位圆周z=ejω将会是F(z)收敛域的边界,F(z)收敛域的可能形式是1<<vb或va<<1。否则,连F(ejω)都不存在。

首先通过部分分式展开,将F(ejω)分成在Z平面单位圆周z=ejω上解析的F3(ejω)及在Z平面单位圆周z=ejω上不解析的F4(ejω)两部分,再进行分析和研究。

(1)若Z平面单位圆周z=ejω上不解析的部分(ejω)是由冲激函数及其导数构成。

①若Z平面单位圆周z=ejω上不解析的部分(ejω)具有式(17)的形式,则有:

②若Z平面单位圆周z=ejω上不解析的部分(ejω)具有式(21)的形式,则有:

(2)若F(ejω)仅存在Z平面的单位圆周z=ejω上不解析部分F(ejω)=F4(ejω),则F(z)不存在。

结论2:由于常数序列、无时限序列、周期序列、符号函数序列、[Sa(k)]n序列(其中,n为正整数)的傅里叶变换F(ejω),仅存在Z平面单位圆周z=ejω上不析部分,即F(ejω)=F4(ejω),因此,这些序列的双边Z变换F(z)不存在。

3 应用举例

例3.1:若已知象函数:

试求傅里叶变换F(ejω)。

利用式(4)计算系数Ai(i=1),可得:

利用式(10)计算系数Bi(i=1,2,3),可得:

由式(18)可得:

例3.2:若已知象函数:

试求傅里叶变换F(ejω)。

解:考虑到:

令(z2+1)(z−1)=0 ,得3个区外单极点

利用式(22)计算Ae(e=1,2,3),可得:

由式(21),可得:

4 结 语

本文基于分解的基本思路,将单位圆周上具有重极点的ZT分解成单位圆周上含极点和不含极点两部分之和。针对单位圆周上含极点的ZT部分,分区内极点和区外极点两种情况进行了深入研究,揭示了单位圆周上仅存在区内重极点的因果序列的频谱计算公式;将序列的DTFT分解成解析部分与不解析部分之和,对其不解析部分进行了详细讨论。这不仅解决了单位圆周上具有重极点的ZT与DTFT的相互计算问题,而且得到了一些有益的结论。

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