关于对称阵“相似”与“合同”的关系研究

王甘赟 夏燕

摘要：在线性代数的教学过程中，对称矩阵的相似对角化与合同对角化是一个难点，很多学生搞不清楚两者之间的关系，本文通过归纳总结，推广得出对称阵“相似”与“合同”的重要关系。

关键词：对称矩阵；相似；合同；关系

1 引言

实对称阵的对角化问题，是个非常重要的问题。比如相似对角化在求矩阵幂运算时可以简化计算，合同对角化可以化二次型为标准型。而对称阵非常特殊，一个对称阵可以与一个对角阵既相似又合同，那么，两个对称阵之间能不能既相似又合同呢，这是一个非常重要的问题。

2 理论依据

为了方便，首先假设下面进行的研究都在实数范围内。

定义1及性质 如果矩阵 经有限次初等变换变成矩阵 ，就称矩阵 与 等价，记作 。

矩阵之间的等价关系具有下列性质：

（i）反身性 ；

（ii）对称性 若 ，则 ；

（iii）传递性 若 ， ，则 .

定义2及性质 设 都是 阶矩阵，若有可逆矩阵 ，使 ，则称 是 的相似矩阵，或说矩阵 与 相似，记作 。

矩阵之间的相似关系具有下列性质：

（i）反身性 ；

（ii）对称性 若 ，则 ；

（iii）传递性 若 ， ，则 .

定义3及性质 设 都是 阶矩阵，若有可逆矩阵 ，使 ，则称 与 合同，记作 。

矩阵之間的相似关系具有下列性质：

（i）反身性 ；

（ii）对称性 若 ，则 ；

（iii）传递性 若 ， ，则 .

引理1 设 为 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 ，使 ，其中 是以 的 个特征值为对角元的对角矩阵.

3 “相似”与“合同”的关系

为了叙述方面，假设本文所有对角阵的对角元均按从大到小的顺序排列。

结论1 若两对称矩阵相似，则一定合同.

证明：由引理1可知，若矩阵 与 均为对阵矩阵，则必有正交阵 、 ，使得 ， .又因为相似矩阵有相同的特征多项式和特征值这个性质，由 与 相似，则 .所以 ，从而 ，因此，对阵矩阵 与 合同.

结论2 若两对称矩阵合同，则不一定相似.

证明：由引理1可知，若矩阵 与 均为对阵矩阵，则必有正交阵 、 ，使得 ， .

令 和 为使 化为规范型的可逆矩阵，

， ， 分别为 与 的特征值.

由惯性定理，只要 与 有相同的正惯性指数（合同矩阵有相同的秩），则 ，即 与 合同于同一规范矩阵 （或 ）.

再由合同的传递性，可知 与 合同。但是正惯性指数相同不能保证特征值相同，而特征值不同则 的全部特征值为4，1（三重）一定不相似，结论证毕.

推论 对称矩阵相似是合同的充分不必要条件.

4 例题解析

例1 设 ，试判定 与 的关系。

解：已知 与 均为对称阵，并且 ， 的全部特征值为4，1（三重），又有 ，所以 的全部特征值也为4，1（三重）.所以， 与 相似于同一对角阵，由定义2中相似的传递性知 与 相似，利用本文推论，可知 与 既相似又合同。

例2 设 ，试判定 与 的关系。

解：已知 与 均为对称阵，并且 ， 的全部特征值为1（二重）、0，又有 ，可知 的全部特征值也为3（二重）、0. 由相似矩阵有相同的特征值的逆否命题可知 与 不相似。 与 有相同的正惯性指数和相同的秩，所以 与 合同。

5 结论

由上述例题可见，了解了对称矩阵“相似”与“合同”的关系后，在解题中可以大大缩减解题的时间，并且保证正确率。所以，在教学过程中，一定要引导学生总结归纳出二者之间的这种重要关系，对今后学习线性代数的其他内容有重要帮助。

参考文献：

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