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关于对称阵“相似”与“合同”的关系研究

2018-09-28王甘赟夏燕

东方教育 2018年23期
关键词:合同关系

王甘赟 夏燕

摘要:在线性代数的教学过程中,对称矩阵的相似对角化与合同对角化是一个难点,很多学生搞不清楚两者之间的关系,本文通过归纳总结,推广得出对称阵“相似”与“合同”的重要关系。

关键词:对称矩阵;相似;合同;关系

1 引言

实对称阵的对角化问题,是个非常重要的问题。比如相似对角化在求矩阵幂运算时可以简化计算,合同对角化可以化二次型为标准型。而对称阵非常特殊,一个对称阵可以与一个对角阵既相似又合同,那么,两个对称阵之间能不能既相似又合同呢,这是一个非常重要的问题。

2 理论依据

为了方便,首先假设下面进行的研究都在实数范围内。

定义1及性质 如果矩阵 经有限次初等变换变成矩阵 ,就称矩阵 与 等价,记作 。

矩阵之间的等价关系具有下列性质:

(i)反身性 ;

(ii)对称性 若 ,则 ;

(iii)传递性 若 , ,则 .

定义2及性质 设 都是 阶矩阵,若有可逆矩阵 ,使 ,则称 是 的相似矩阵,或说矩阵 与 相似,记作 。

矩阵之间的相似关系具有下列性质:

(i)反身性 ;

(ii)对称性 若 ,则 ;

(iii)传递性 若 , ,则 .

定义3及性质 设 都是 阶矩阵,若有可逆矩阵 ,使 ,则称 与 合同,记作 。

矩阵之間的相似关系具有下列性质:

(i)反身性 ;

(ii)对称性 若 ,则 ;

(iii)传递性 若 , ,则 .

引理1 设 为 阶对称矩阵,则必有正交矩阵 ,使 ,其中 是以 的 个特征值为对角元的对角矩阵.

3 “相似”与“合同”的关系

为了叙述方面,假设本文所有对角阵的对角元均按从大到小的顺序排列。

结论1 若两对称矩阵相似,则一定合同.

证明:由引理1可知,若矩阵 与 均为对阵矩阵,则必有正交阵 、 ,使得 , .又因为相似矩阵有相同的特征多项式和特征值这个性质,由 与 相似,则 .所以 ,从而 ,因此,对阵矩阵 与 合同.

结论2 若两对称矩阵合同,则不一定相似.

证明:由引理1可知,若矩阵 与 均为对阵矩阵,则必有正交阵 、 ,使得 , .

令 和 为使 化为规范型的可逆矩阵,

, , 分别为 与 的特征值.

由惯性定理,只要 与 有相同的正惯性指数(合同矩阵有相同的秩),则 ,即 与 合同于同一规范矩阵 (或 ).

再由合同的传递性,可知 与 合同。但是正惯性指数相同不能保证特征值相同,而特征值不同则 的全部特征值为4,1(三重)一定不相似,结论证毕.

推论 对称矩阵相似是合同的充分不必要条件.

4 例题解析

例1 设 ,试判定 与 的关系。

解:已知 与 均为对称阵,并且 , 的全部特征值为4,1(三重),又有 ,所以 的全部特征值也为4,1(三重).所以, 与 相似于同一对角阵,由定义2中相似的传递性知 与 相似,利用本文推论,可知 与 既相似又合同。

例2 设 ,试判定 与 的关系。

解:已知 与 均为对称阵,并且 , 的全部特征值为1(二重)、0,又有 ,可知 的全部特征值也为3(二重)、0. 由相似矩阵有相同的特征值的逆否命题可知 与 不相似。 与 有相同的正惯性指数和相同的秩,所以 与 合同。

5 结论

由上述例题可见,了解了对称矩阵“相似”与“合同”的关系后,在解题中可以大大缩减解题的时间,并且保证正确率。所以,在教学过程中,一定要引导学生总结归纳出二者之间的这种重要关系,对今后学习线性代数的其他内容有重要帮助。

参考文献:

[1]同济大学数学系. 工程数学线性代数: 同济·第六版[M]. 高等教育出版社, 2014.

[2]陈亮, 杜翠真, 高勤. 实对称矩阵对角化中正交矩阵的初等变换求法[J]. 大学数学, 2016, 32(4):68-72.

[3]姜爱平. 线性代数中矩阵章节基本概念及性质的教学方法探讨[J]. 高师理科学刊, 2016, 36(3):48-51.

[4]孟道骥.高等代数与解析几何(第二版)[M].北京:科学出版社,2004.

[5]孙延修.线性代数教学方法的思考与探索[J].高师理科学刊,2013,33(5):103-105

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