纤维模型柔度法迭代的讨论

赵航李窍

（1.陕西工业职业技术学院土木工程学院 咸阳 712000 2.山东省建筑科学研究院 济南 250031）

1 前沿

Takayanagi and Schnobrich[1]的论文中，沿纵向将单元划分为有限个尺寸较短的单元，用转动弹簧来表示单元特性的非线性。而单元特性是由分割的小单元的中间位置处的特性所决定的。基于静态凝聚的方法，单元的整体刚度、位移等特性由多个弹簧性质凝聚而来。Mariand Scordelis[2]在1984年提出了通过引入位移模式，求解节点位移变化，并将节点位移变化和单元截面变形结合起来，积分求取单元截面性质和单元抗力。截面的变形与抗力和单元节点的位移与抗力由插值函数联系起来，与刚度法的差异在于将力的分布作为插值函数，通过迭代求解变形和抗力，本文将讨论柔度法的迭代方式，并给出更简洁的迭代方式。

2 柔度法迭代的讨论

（1）位移模式

柔度法要预设单元受力的分布模式，而力的分布模式比较固定，单元再节点荷载作用下，力的平衡方程变化能保持稳定，只需要划分较少的单元即可获得较为准确的结果。

在未考虑刚体为位移模式的情况下，单元力向量为：

其中：M1，M2为杆端弯矩，N3为单元杆轴力。

假定单元内部弯矩线性分布，轴力为常值，则单元截面荷载向量为：

其中力的插值函数矩阵b（x）为：

由虚功原理可得单元柔度矩阵：

其中：δs（x）为单元截面的柔度矩阵。

刚度法中是基于Hermite位移插值函数，通过节点位移求解单元内部变形，再结合单元截面刚度，来求解截面受力，进而反推出单元抗力，再将单元抗力和节点荷载之差重新进行迭代计算，直到满足限值要求，从而求解单元效应。而柔度法中则基于力的插值函数进行迭代，而主要求解截面残余变形，并通过凝聚来求解单元残余变形并反求荷载，反复进行迭代达到限值，从而确定单元状态，最后把柔度阵转为刚度阵，融入到结构层面里即可衔接到原有的刚度法处理软件中，求解结构状态。

（2）单元状态的确定

在刚度法中，单元状态和整体结构是同步迭代的，如图1（a）所示，而力法中，单元和整体迭代非同步，每一个单元状态下要进行独立的迭代，并满足力的分布模式如图1（b）和图1（c）所示。

文献[3]在刚度法基础上引入柔度法，有效的将力的位移模式与位移的位移模式融合起来。整体结构第i步的迭代如图1所示。

（3）对柔度法迭代方式的讨论

现对上述过程中残余荷载的表达方式进行讨论，单元残余变形为：

图1 单元状态确定

在上述分析中，我们可以看到在迭代过程中，随着截面残余平衡力的减小，残余变形也越来越小，当达到限值时，在整体结构层面的单元位移之间的协调关系仍然可以满足，求解截面残余变形及单元残余变形是可以避免的，而计算机的优点在于其强大的计算能力，在基本计算环节中减少了不必要的步骤，在整个迭代过程中，则可避免大量不必要的计算过程，节省计算资源，提高运算效率。

现将具体过程表达为流程图如图2所示，省略了残余变形，基本程序不受影响。

图2 省略残余变形的求解

3 结论

本文探讨了的柔度法迭代的基本原理，并基于柔度法基本原理，通过调整迭代路径，减少了截面残余变形及单元参与变形的过程，从而简化迭代步骤，而计算机解决此类问题的本质是依赖计算机强大的数据计算能力，基于基本的计算程序，进行多次的迭代计算，在基本程序的计算过程中，简化步骤，可以大大提高整个对象的计算效率。