构建动量知识体系,把握动量与能量关系

■湖南省汨罗市第一中学 郑宏建

一、构建动量知识体系

1.三个重要概念:

(1)动量:质量与速度的乘积(p=mv),动量的方向与速度的方向相同。

(2)动量的变化量:末动量与初动量之差(Δp=p'-p)。

(3)冲量:力与力的作用时间的乘积(I=Ft),冲量的方向与力的方向相同。

2.两大核心规律:

(1)动量定理:物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量,即Δp=I。

(2)动量守恒定律:如果一个系统不受外力,或者所受外力的矢量和为0,这个系统的总动量保持不变。①表达式:系统相互作用前的总动量p等于系统相互作用后的总动量p',即p'=p。也可表达为Δp1=-Δp2,即若相互作用的系统为两个物体,则两物体动量的增量大小相等、方向相反。②动量守恒定律的适用条件:系统不受外力或所受外力的合力为零,则系统的动量严格守恒;系统所受合力不为零,但在某一方向上系统所受外力的合力为零,则在该方向上系统动量守恒;系统虽受外力,但内力远大于外力且作用时间极短,如碰撞、爆炸过程,动量近似守恒。

3.三大典型应用:碰撞、爆炸、反冲。

碰撞、爆炸、反冲过程均遵从动量守恒定律。如果碰撞过程中机械能守恒,那么这样的碰撞叫弹性碰撞;如果碰撞过程中机械能不守恒,那么这样的碰撞叫非弹性碰撞。

二、动量及动量守恒定律的应用

1.利用动量定理求解瞬间作用问题。

例1某游乐园入口旁有一喷泉,喷出的水柱将一卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见,假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上冲击玩具的底部,玩具底部为平板(面积略大于S);水柱冲击到玩具底板后,在竖直方向上水的速度变为零,在水平方向上朝四周均匀散开。忽略空气阻力,已知水的密度为ρ,重力加速度大小为g。试求该卡通玩具的质量。

解析:采用微元法进行分析,取一段很短的Δt时间内冲击玩具底部的一小段水柱为研究对象,设其体积为ΔV,质量为Δm,则Δm=ρΔV,ΔV=v0S·Δt,解得Δt时间内从喷口喷出的水的质量Δm=ρv0S·Δt。玩具在空中悬停,则由力的平衡条件得F=Mg。根据牛顿第三定律可知,玩具对其底部水柱的作用力F'=F,由题意可知,在竖直方向上,对该部分水柱应用动量定理得(F'-Δmg)·Δt=Δm·v0。因为Δm很小,Δmg也很小,可以忽略,所以有F'·Δt=Δm·v0。联立以上各式解得

点评:求解本题有两个难点,一是研究对象的选择,即取一段很短的Δt时间内冲击玩具底部的一小段水柱为研究对象,建立“微元柱体模型”;二是应用“微元”方法建立动量定理的方程,并结合数学知识完成求解。

2.两物体的多过程碰撞问题。

图1

例2如图1所示,固定在水平面上倾角θ的轨道底端有与之垂直的挡板,材质和粗糙程度都相同的小物块A、B的质量分别为m和2m,它们之间夹有少量炸药并一起以速度v0=2m/s沿轨道匀速下滑,当两物体与挡板间的距离L=0.4m时炸药爆炸,炸药爆炸后物块A的速度恰好变为零,随后物块B与挡板发生弹性碰撞,碰后物块B沿轨道上滑与物块A发生弹性碰撞。取g=10m/s2,求:

(1)物块B与挡板第一次碰撞后瞬间,两物块的速度大小。

(2)物块B上滑与A碰撞后瞬间,两物块的速度大小。

解析:(1)设沿轨道向下为正方向,在炸药爆炸过程中,对物块A、B应用动量守恒定律得(m+2m)v0=2mv1,解得v1=3m/s。由题意可知,物块B在下滑过程中做匀速运动,与挡板碰撞时无能量损失,故与挡板碰后瞬间物块B的速度大小vB=3m/s,物块A在炸药爆炸后至与物块B碰前一直处于静止状态,故vA=0。

(2)设物块B上滑与A碰撞前的速度为v2,则对物块B与挡板碰撞后至与物块A碰撞前应用动能定理得,解得v2=1m/s。设物块B上滑与A碰撞前后瞬间两物块的速度分别为对两物块的碰撞过程应用动量守恒定律得2mv2=2mvB'+mvA',由机械能守恒定律得解得

点评:求解本题需要按时间顺序分析物体的运动过程,重点分析碰前、碰中与碰后三个过程及每个过程遵循的物理规律,知道弹性碰撞过程遵守动量守恒和机械能守恒,并利用动能定理分析物块B上滑与A相撞前B的速度。

3.多物体的多次碰撞问题。

图2

例3如图2所示,粗糙的水平面上静止放置着三个质量均为m的小木箱,相邻两小木箱间的距离均为l。工人用沿水平方向的力F推最左边的小木箱使之向右滑动,逐一与其他小木箱碰撞,每次碰撞后小木箱都粘在一起运动。整个过程中工人的推力F不变,最后恰好能推着三个小木箱匀速运动。已知小木箱与水平面间的动摩擦因数都为μ,重力加速度为g,碰撞时间极短,小木箱可视为质点。求第一次碰撞和第二次碰撞中木箱损失的机械能之比。

解析:最后三个小木箱匀速运动,则F=3μmg。工人只推最左边的小木箱时,由动能定理得小木箱发生第一次碰撞时,由动量守恒定律得mv1=2mv2,碰撞中损失的机械能一次碰撞后,工人推着两个小木箱向右运动,由动能定理得小木箱发生第二次碰撞时,由动量守恒定律得2mv3=3mv4。碰撞中损失的机械能联立以上各式解得

点评:多物体的多次碰撞问题一般可以转化为两物体的碰撞问题,分析清楚两物体在碰前与碰后这两个过程遵循的物理规律,即可利用动量守恒定律与能量守恒定律将碰撞前后的物理量联系起来。

图3

1.如图3所示,一质量M=3kg的玩具小车在光滑水平轨道上以速度v0=2m/s向右运动,一股水流以水平速度u=2.4m/s自右向左射向小车的竖直左壁,并沿左壁流入车箱内,水的流量b=0.4kg/s。

(1)要改变小车的运动方向,射到小车里的水的质量至少是多少?

(2)当射到小车里的水的质量m0=1kg时,小车的速度和加速度各是多大?

图4

2.如图4所示,质量为2m、高度为h的光滑弧形槽末端水平,放置在光滑水平地面上,质量为m的小球A从弧形槽顶端由静止释放,之后与静止在水平面上质量为m的小球B发生对心碰撞并粘在一起,求:

(1)小球A滑下弧形槽后的速度大小。

(2)小球A、B碰撞中损失的机械能。

参考答案:

1.(1)2.5kg,(2)0.9m/s,0.33m/s2。