由省赛题谈数列“凸性”的简单应用*

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(严州中学新安江校区,浙江 建德 311600)

2018年浙江省高中数学竞赛已经落幕，纵观全卷，难度较2017年明显下降.笔者对第13题的数列不等式题产生了兴趣.

(2018年浙江省高中数学竞赛试题第13题)

1 证法探究

本题的证明并不难，参考答案提供的是反证法，证法如下：

1)若x1 009,x1 010同为正数，由xn,xn+2同号可知:x1,x2,…,x2 018同为正.

从而

即

x1 009x1 010≤x1 011x1 008，

于是

x1 011x1 008>1.

即

x1 007x1 012>1，

2)若x1 009,x1 010同为负数，由xn,xn+2同号可知：x1,x2,…,x2 018都为负数，故

即

由情形1)知不等式成立.

赛后跟学生交流，发现学生的想法也很不错，笔者略作整理，得到如下两种证法：

1)若x1 009·x1 010<0，则结论显然成立.

2)若x1 009·x1 010>0，则x1,x2,…,x2 018全同号，不妨设全为正数(若为负数，则可用-xi代替xi，不影响结果).

从而xn+k+1xn-k≤xn+k+2xn-k-1(其中0≤k≤n).

取n=1 009，得

x1 009x1 010≤x1 008x1 011≤x1 007x1 012≤…≤x1x2 018，

从而

即

x1 009x1 010≤1.

bn+2-bn+1≥bn+1-bn，

即数列{bn+1-bn}单调不减,则

其中k=1,2,…,1 009,即

b1 009+b1 010≤bk+b2 019-k,

对k求和得

即

故

b1 009+b1 010≤0.

2 题源探究

定义若实数列{an}满足ak-1+ak+1≥2ak(其中k=1,2,…)，则称数列{an}为下凸数列，简称凸数列，当且仅当{an}为等差数列时，等号对所有k∈N*成立.

由定义可知，对于实数列{an}，若Δan=an+1-an(其中n=0,1,2,…)，则数列{an}为凸数列的充要条件是数列{Δan}为单调不减数列.

因为等差数列是特殊的凸数列，那么一般的凸数列是否具备类似等差数列的性质呢？从证法3可得到凸数列的一个重要性质：

性质1若数列{an}为凸数列，满足1≤m

证明因为n>q≥p>m≥1，又{an+1-an}单调不减，所以

即

an-aq≥ap-am，

结论成立.

此外还有一些类似等差数列的性质，在此不再一一例举.在一些大型的考试中，也屡见凸数列的“身影”，下面试举两例来说明.

3 用“凸性”研究真题

真题1设实数x1,x2,…,x30满足x1=1，x30=88,2xn+1≤xn+xn+2(其中n=1,2,…,28),求x10的最大可能值.

(2018年中国女子数学奥林匹克浙江省选拔试题第3题)

解由题意知数列{xn}为凸数列，故{xn+1-xn}是单调不减数列，令Δxn=xn+1-xn，则

Δx1≤Δx2≤…≤Δx29，

且

Δx1+Δx2+…+Δx29=87，

即

Δx1+Δx2+…+Δx9≤27，

故

x10=x1+(Δx1+Δx2+…+Δx9)≤28.

(2008年上海市春季数学高考试题第21题)

证明易知

bn=(1,an+1-an)·(0,1)=an+1-an,

bn+1=an+2-an+1，

因为bn+1>bn,所以

an+2-an+1>an+1-an，

即数列{an}为“下凸数列”.要证

即证

aq-ap>an-am.

由于q-p=n-m，将所证不等式改写为

由{an+1-an}的递增性，知结论显然成立.

4 由“凸性”研究等差、等比数列的统一性质

在研究完两个真题后，笔者感到意犹未尽，在翻阅文献时，发现在文献[1]中给出等差、等比数列的一些统一性质，其论证过程比较麻烦.经过尝试，笔者发现若利用凸数列的性质来证明，可以极大地简化证明过程.

性质2正项等差数列或等比数列{an}中，当m+n=p+q,m

证明1)若{an}为等比数列，则显然有

aman=apaq.

2)若{an}为正项等差数列，设an=pn+q(其中p>0)，则令bn=-lnan，考虑

f(x)=-ln (px+q)(其中x>0),

p,q为常数，则

从而f(x)为凸函数，故数列{bn}是凸数列，则

bm+bn≥bp+bq，

即

-lnam-lnan≥-lnap-lnaq，

亦即

aman≤apaq.

性质3正项等差数列或等比数列{an}中，当m+n=p+q,m

证明1)若{an}为等差数列，则显然有

am+an=ap+aq.

2)若{an}为正项等比数列，设an=a1qn-1(其中a1>0,q>0)，显然数列{a1qn-1}是凸数列，则am+an≥ap+aq.

性质4设正项等差数列或等比数列的前n项和为Sn，则当m+n=p+q,m

从而f(x)为凸函数，故数列{-lnSn}是凸数列，于是

-lnSm-lnSn≥-lnSp-lnSq，

即

SmSn≤SpSq.

则

从而f(x)为凸函数，故{-lnSn}是凸数列，即

-lnSm-lnSn≥-lnSp-lnSq，

于是

SmSn≤SpSq.

性质5设正项等差数列或递增等比数列的前n项和为Sn，则当m+n=p+q,m

2)若{an}为正项等比数列且q=1，则显然有

Sm+Sn=Sp+Sq.

此外通过性质2～5的证明，笔者还发现了与凸数列有关的等差、等比的其他一些性质：

由于性质6～8的证明过程和性质1～5类似，故在此不再赘述.在性质2～8中对于等差、等比数列还有一定的限制，那么对于更一般的等差、等比数列，上述性质还成立吗？由于笔者能力有限，未能给出结果，请同行帮忙证明.