把握本质规律 走出教学困境*——2018年高考解析几何试题分析与教学建议

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(闽清教师进修学校,福建 闽清 350800)

1 试题特点

2018年高考解析几何试题具有以下特点：

1)各地试卷中解析几何题量均为“两小一大”，即两道客观题，一道解答题，分值在22～26分．

2)不少试卷中出现了“低保题”，体现了对考生的人文关怀．

3)全国卷解析几何的思维量和计算量出现较大幅度的下降，卷Ⅰ、卷Ⅱ理科解答题由原来的第20题改为第19题．卷Ⅰ、卷Ⅱ、卷Ⅲ文理科解答题几乎一样，为高中新课程不再文理分科发挥了积极的导向作用．

4)试题具有“三不给”的风格，即不给出图形、不给出点坐标、不给出直线方程，考生要从画图、引入点坐标和直线方程开始解题．

5)加强了对双曲线的考查，几乎所有试卷都在客观题中考查双曲线的标准方程和几何性质．

6)突出了坐标化、数形结合、回归定义、优选直线等解析几何本质问题的考查，体现了直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养的命题立意．

7)选择题和填空题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质及直线与圆的位置关系．解答题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，第一步入题比较容易，在简单的条件下求椭圆、抛物线、直线的方程或直线斜率等参数的取值范围；第二步主要求斜率、距离(弦长)、面积、定值(定点)、存在性等问题，注重同向量、三角、平面几何、函数、数列、不等式等知识的综合．

2 试题解析

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(2018年全国数学高考卷Ⅱ理科试题第12题)

图1

数形结合，即可秒获答案，无需解析几何之运算．除了本题外，还有很多试题都可直接图解．

(2018年北京市数学高考理科试题第14题)

图2

反思圆锥曲线的定义体现了圆锥曲线的本质属性，运用圆锥曲线定义解题是一种最直接、最本质的方法，常能收到立竿见影之效．回归定义与数形结合相得益彰，成为解题中最美的风景，学生千万不可“忘本忘形”．

图3

1)求椭圆的方程.

(2018年天津市数学高考理科试题第19题)

解法1设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，其中x1>x2>0．由l:y=kx(其中k>0)，得

由于直线AB的方程为x+y=2，从而

即

4(2-x2)=5k(x1-x2).

(1)

把x1,x2代入式(1)得

解法2设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，其中y1>y2>0．由l:y=kx(其中k>0)，得

由于直线AB的方程为x+y=2，从而

5y1=9y2,

代入5y1=9y2，得

即

得

5y1=9y2，

以下同解法2．

解法4设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，其中x1>x2>0．在△OAQ中，∠OAB=45°，由正弦定理得

即

从而

于是

5x1=9x2,

受此式右边启发可构造直角三角形：作PN⊥x轴于点N，QH⊥PN于点H，QM⊥x轴于点M．在Rt△PHQ中，

|PH|=|PQ|sin∠PQH=|PQ|sin∠AOQ，

即

y1-y2=|PQ|sin∠AOQ.

在Rt△QMA中,

|MQ|=|AQ|sin∠MAQ，

即

5y1=9y2，

以下同解法2．

解法6设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，其中x1>x2>0,则

2|OP|cos∠AOP.

(2)

(3)

式(3)÷式(2)，得

亦即

4(2-x2)=5k(x1-x2)，

下同解法1.

反思三角、向量都具有数与形的双重身份．为减少计算量，在坐标化前要考虑可否利用三角、向量、平面几何知识简化几何问题．对某些看似与三角、向量、平面几何无关的距离、面积等问题，若能结合三角、向量、平面几何知识，则可收到事半功倍之效．

1)求椭圆M的方程；

图4

2)若k=1，求|AB|的最大值；

(2018年北京市数学高考文科试题第20题)

(1+3t2)x2+12t2x+12t2-3=0，

从而

于是

故

化简为

4y2-4x2-7=4y1-4x1-7，

即

亦即

k=1．

(m2+3)y2-4my+1=0，

从而

由x1=my1-2得

于是

解法3设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4),则

两式相减得

(x1+x3)(x1-x3)+3(y1+y2)(y1-y3)=0,

即

(4)

(5)

(6)

把式(5),式(6)代入式(4)整理为

得

从而

故

解题难度和运算量除了与直线方程选择有关外，还与源变量的选择有很大关系．解法1～3中点C，D的坐标直接分别用点A，B的坐标表示，运算简捷．而思路2由于点A，B，C，D的坐标用中间参数p，q表示，点C与点A、点D与点B坐标的关系是间接关系而不是直接关系，因此造成很大的运算量．

3 教学建议

3.1 教学现状

解析几何综合题基本上是考查直线与圆锥曲线位置关系，此问题素来是教学难点和高考热点．对于直线与圆锥曲线位置关系问题，教师增加了教学课时，设计了复习专题，强化了考试练习，学生投入了成倍学时，经历了艰难思路，进行了大量运算，但教学却毫无收效．劳而无功的教学使教师对解析几何失去信心，学生对解析几何产生恐惧．当教学投入与产出总不成正比时，许多教师认为解析几何综合题不可教，很多学生(包括优等生)感到解析几何综合题不可学．有些教师在考试策略上指导学生对解析几何解答题要舍得放弃，采用“第一步确保，第二步列式”的战术，错失了解析几何承载的数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养的教育价值．经过对解析几何综合题学习情况的问卷与访谈，发现造成教学高负低效的主要原因有：一是解题思路茫然；二是“忘本忘形”(忘了回归定义和数形结合)；三是盲目套用直线方程；四是计算缺乏结构与整体意识．解析几何教学要改变现状走出困境，就必须找到破解这些问题的有效策略．

3.2 基本路径

解析几何因研究自由落体、抛物线和行星运动的需要而产生，是建立在运动变化观点之上的学科．解析几何的基本思想是坐标化和运动变化思想．数学家柯朗认为：“解析几何的基本思想是引进‘坐标’，即对一个几何对象附上或标上数，从而完全刻画了这个对象．”[1]在运动变化中有些变量(如动点坐标、动直线参数等)是引起变化的根本原因，其他变量随它的变化而变化，把这样的变量称为源变量．直线与圆锥曲线位置关系的综合题归结于直线与圆锥曲线的交点问题，因此研究直线与圆锥曲线位置关系问题可通过引进源变量，把直线与圆锥曲线的交点坐标和几何问题用源变量表示，经过代数运算解决问题．研究的基本路径为：引入源变量(如动点坐标、动直线参数等)→由点所在的直线、曲线方程求出坐标或坐标关系式→把几何问题用源变量表示→通过代数运算解决问题．从运动变化入手使解析几何研究变得有根、有序、鲜活、灵动．

3.3 基本经验

研究解析几何问题，除了遵循以上基本路径外，还要从圆锥曲线定义(属性)、数形结合思想、直线方程选择、源变量引入和数式结构观察等视角优化研究过程．圆锥曲线定义是圆锥曲线的本源，因此灵活运用圆锥曲线定义解题是最直接、最本质的方法，对涉及焦半径的问题利用定义直截了当，立竿见影．解析几何研究的是几何问题，研究过程总是离不开“形”的特点，因此在坐标化前要考虑能否利用平面几何、三角、向量等知识简化几何关系，坐标化过程要注意每个式子的几何意义．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”(华罗庚语)，数与形密不可分，数形结合是优化思维性、减少运算量的利器．解析几何的研究方法是坐标化后通过研究直线、曲线方程解决几何问题．圆锥曲线方程相对单一，但直线方程形式多样，选择哪条直线、哪种形式，对计算量有很大影响，因此要根据题情判断如何优选直线方程．解析几何离不开计算，坐标化后代数运算要遵循数式运算法则，先细致观察数式结构表征后再实施相应运算，做到且看且算，且算且思．对同类项要展开合并，多项式要因式分解，公因式要提取，分式要通分(或去分母)，多元要消元，去括号要注意是否变号．还要注意使用化归转化、数形结合、函数方程、分类讨论、整体代换、设而不求、代标相减等思想方法．教师对运算要言传身教，全程示范，不能用“化简为”“整理得”省略学生可能犯错的步骤，在板演中强调思维点、切入点、易错点、得分点．但教师无法替代学生的计算，学生不可能完全通过听和看形成计算能力，必须在脚踏实地的计算实践中进行锻炼．

为防止学生“忘本忘形”，形成良好的解题习惯，可给学生概括以下琅琅上口的研究解析几何问题的基本经验：回归定义不可忘，数形结合成习惯，选择直线要判断，数式先看后运算．

解析几何教学的精髓是教师引导学生在变化的现象中研究不变的本质，从不变的本质中探究变化的规律．坐标化与运动变化思想、回归定义、数形结合、优选直线方程是解析几何的本质规律，把握这一不变的本质规律就能以不变应万变，让教学走出困境，为教学减负增效．