一题多维“细”探究 零点反思“化”归根*——一道高考函数压轴题的解法探究与反思

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(天水市第一中学,甘肃 天水 741000)

1 试题呈现

题目已知函数f(x)=ex-ax2．

1)若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；

2)若f(x)在(0,+∞)上只有一个零点，求a．

(2018年全国数学高考卷Ⅱ理科试题第21题)

2 表征解读

本题条件只是一个含e的函数解析式，蕴藏着一个参数a和两类基本函数(指数函数和二次函数)，第1)小题属于不等式的证明；第2)小题通过零点求参数，结构与形式凸显了数学之美：简单、简洁、简捷.结构如此经典之美的数学题，就会激发学生对解法作深入研究的动力.

3 解法探究

3.1 第1)小题剖析

视角1函数角度.

从证明的目标“当x≥0时，f(x)≥1”成立入手，将目标直译为在条件“x≥0”下，不等式“f(x)min≥1”成立即可.

解法1若a=1，则函数f(x)=ex-x2，求导可得f′(x)=ex-2x，此时不好判断该导数f′(x)的正负，故设g(x)=ex-2x，则

g′(x)=ex-2，

令g′(x)=0，解得x=ln 2，列表1.

表1 导函数对应值

从表1可知g(x)≥g(ln 2)=2-2ln 2>0，从而f′(x)>0，因此函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，故f(x)>f(0)=1.

视角2等价转化角度.

对所要证明的不等式，如果直接不好证明，可以先进行等价变形，然后再证明其成立即可.

解法2当a=1时，不等式f(x)≥1等价变形为(x2+1)e-x-1≤0．设函数g(x)=(x2+1)e-x-1，求导可得

g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x．

当x≠1时，g′(x)<0，函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递减．而g(0)=0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1．

易知在[0,+∞)上g′(x)≥0恒成立，因此g(x)在x=0处取到最小值，即g(x)≥g(0)=1,故不等式f(x)≥1成立．

评注本题是一道常规不等式的证明题，既考查了学生对简单问题的转化能力，又考查了数学思想.学生在考试中容易从函数角度思考，思路如果清晰，就能够很快解决问题.若对此题进行深入研究，就会发现此题中对函数f(x)直接求导，不容易确定函数的走势，需要灵活处理：等价变形为

(x2+1)e-x-1≤0,

或

或对导函数f′(x)=ex-2x二次求导才能够解决问题，有利于对导数与函数关系的深刻理解.

3.2 第2)小题剖析

本小题是零点问题，属于高考的热点问题，求解时常将零点问题转化为方程解的问题，或转化为两个新函数的图像交点问题.一旦参数参与其中，问题就会变得复杂一些.

视角1直接分离参数.

令h′(x)=0，解得x=2，列表2如下：

表2 导函数对应值

视角2直接对参数讨论.

上述视角1的直接分离参数是常用方法，但有时也可以对参数直接进行分类讨论.本题中函数f(x)的导函数f′(x)的正负无法直接判断，因此需要对导函数f′(x)进行二次求导，当x∈(0,+∞)时，对参数a进行分类讨论.

解法2对函数f(x)=ex-ax2(其中x>0)求导可得f′(x)=ex-2ax，设g(x)=ex-2ax，对函数g(x)求导可得g′(x)=ex-2a.

由于x∈(0,+∞)，下面对参数a进行分类讨论：

此时需要讨论1-ln 2a的正负：

联立

视角3直线与曲线相切.

从而

视角4两条曲线相切.

借助常见的函数y=ex和y=ax2(其中a>1)的图像与性质，将“方程ex-ax2=0只有一个根”，变形为“方程ex=ax2只有一个根”，等价转化为“函数y=ex的图像和函数y=ax2(其中a>1)的图像相切”，从而求得a的值.

解法4f(x)=ex-ax2=0变形得ax2=ex.设函数g(x)=ex，h(x)=ax2,易知g(x)在(0,+∞)上单调递增.

由第1)小题ex>x2可知，参数a一定满足a>1.又函数y=ax2(其中a>1)在(0,+∞)上单调递增.结合题意“方程ex-ax2=0只有一个根”，即“方程ex=ax2只有一个根”，下面讨论的对象是指数函数y=ex与二次函数y=ax2的交点问题.

结合题设条件，易知“函数y=ex的图像”和“函数y=ax2(其中a>1)的图像”具有上升的特征，两条曲线只有相切时才能够符合题意.也就是两个函数的图像只有一个公共切点(有一条共同的切线)，不妨设该切点M的坐标为(m,em).易知第一个关系式

em=am2(其中a>1,m>0),

两条曲线在公共点M处的斜率相等，可得第二个关系式

em=2am(其中a>1,m>0).

评注两条曲线相切的研究形式多样，曲线的走势多变，研究其相切的难度比较大.

视角5先等价转化，再分类.

本题中的“f(x)在(0,+∞)上只有一个零点”等价于“函数h(x)=1-ax2e-x在(0,+∞)上只有一个零点”，再讨论函数h(x)的单调性，结合h(x)的最小值分类讨论得到a的值.

解法5设函数h(x)=1-ax2e-x,则f(x)在(0,+∞)上只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)上只有一个零点．

1)当a≤0时，h(x)>0，h(x)没有零点.

2)当a>0时，h′(x)=ax(x-2)e-x．

故h(x)在(2,4a)上有一个零点，因此h(x)在(0,+∞)上有两个零点．

评注对参数a分类讨论，需要判断各种情况下得到的参数a的范围是否符合题意，把各种符合题意的范围取并集，即为参数a的取值范围.但有一些不等式恒成立问题需要对自变量x进行分类讨论，对各种情况下的a的取值范围取交集，即为参数a的取值范围.

4 解后反思

4.1 审题立足数学概念，思悟规律回归教材

函数零点(或方程根的个数)问题是近几年高考的热点.在函数的定义域内，探究函数单调性和极值，需要弄清函数的走势，以及函数的零点个数或零点近似值范围.本题第2)小题涉及“函数只有一个零点”，强调了“零点”的个数和唯一性等特征下，“确定”对应的参数a的值.

第2)小题解法剖析中的几种思维视角，不外乎分离参数、分离函数和等价转化等三大审题、解题策略.本题的分离参数只有视角1，分离函数有视角3和视角4，等价转化有视角2和视角5，不论哪一种策略，都会立足数学中的函数、导数等概念，如视角2中，对导函数又采用了二次求导，此时一定要切记“导函数正负决定了原函数的增减”这一根本点，在此基础上讨论极值问题或最值问题就会显得自然和舒坦.

4.2 挖掘审题视角，深究通性通法

高度重视导数、函数之间的关系(解析式、图像等)，掌握函数走势(单调性、周期性、对称性等)的确定方法与技巧，既可以提高解题效率，又可以提升学生审题的自信心.近几年数学高考常常以函数为载体，在导数、方程、不等式等知识点的交汇处命制压轴题，要求学生要重视运算能力和运算速度的提高，特别是涉及参数取值范围的确定，平时训练一定要注重算理、算法和正确地分类，否则转化方式方法中的逻辑性就会混乱，简捷的思维就难以形成.

4.3 注重数学思想方法，积淀解题经验

总之，还要掌握一些典型函数问题的解题策略：判断函数的单调性、求函数的极值(或最值)、证明不等式、讨论函数的零点或函数的图像等审题、解题常用的方法技巧，力争做到讨论不遗漏、分析要全面、计算要精准、思路要简捷，从而提高借用数学思想方法确定最优解题方法的选择能力,缩短解题长度和提升解题能力，有利于学生思维层次的提升，同时也积淀了多方位、多视角探究解题的经验，更加有利于学生数学核心素养的养成与提升.