探究构造法在高中数学解题中的应用

蒋锟

摘要：数学作为高中数学最重要的学科之一，是学生通往大学之路的敲门砖。构造法是高中数学中常见的解题方法，对数学条件逐一求解，推导出问题的最后答案。本文从构造函数、构造数列、构造方程、构造不等式和构造图形几个方面来探究构造法在高中数学解题中的应用。

关键词：高中数学；构造法；解题应用

前言：

随着年龄的增长，数学课程难度的逐渐增加，学生面对繁重的数学课业，高效解题是关键。通过构造法在高中数学解题中的运用，将复杂的问题简单化，抽象的问题形象化，让学生在枯燥无味的学习中，能够找到数学题目的突破点，增加学生的解题信心，解题速度有效提高。

一、构造法在高中数学解题中运用的意义

构造法是指将数学题目中已知条件类比联想，用图形和函数构造的方法，将每个小问题一一解决，从而解决较难的数学题。著名数学家华罗庚说过“数离开形少直观，形离开数难入微”。这句话充分证明数学中数形结合的重要性，古代的“曹冲称象”利用物理质量替换法将大象的质量称出来，这也是高中数学构造法的思维模式，将“大象”比作数学题目，“石头”比作利用构造法解题，也就是说，想要解答数学题目，需要将题目用构造法将难题变得简单化，从而得到习题的答案[1]。

运用构造法解决数学题目的优点是：可以提高学生的创新能力；有些题目不需要构造法也可以解题，但过程繁琐，浪费时间，用构造法解决高中数学题目可以优化解题途径，可以在考试中节省时间，让学生有更多的时间查漏补缺；利用题目中的已知条件找出隐含条件，使问题简单化；因为在转化过程中会出现函数、数列、方程、不等式、图形等其他相关数学知识的运用，可以温故知新，促进相关数学知识的吸收。

有些出题者在编写试卷时，在题中故意放入学生易迷惑的问题，所以单看题目表面是无法抓住数学题目的真实意图的，学会构造法的高效运用，在实际解题中有目标的去解题，达到快速解题的效果。

二、构造法在高中数学解题中的应用

（一）构造函数

函数和方程在数学中密不可分，是高中数学集体思路中重要组成部分。在高中数学中，利用构造函数，可以使问题简单化。

例1：已知x，y是正实数，且满足xy=x+y+3，求x+y的取值范围

解：因为x，y是正实数，且xy=x+y+3；所以x，y可作为一元二次方程a2-ma+m+3=0两个根，其中x+y=m，xy=m+3

根据题目中要求方程有两个正解，需要满足△=m2-4m-12≥0且m>0且m+3>0解得m≥6，即x+y≥6，所以x+y的取值范围为[6，+∞]。

（二）构造数列

高中数学中主要学习等差数列和等比数列，但在实际解题时，不是直接给出等差数列和等比数列，需要用构造法将已知题目转化成等差数列和等比数列。

例2：已知数列{fx}满足f1=1，fx+1=2fx+1，求an的值。

解：因为fx+1=2fx+1，所以fx+1+1=2（fx+1），f1+1=2，所以fx+1+1/fx+1=2。{fx+1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得：fx+1=2·2x-1=2x即fx =2x-1。

例3：已知数列{ fx }的通项fx =x2，求此数列的前x项的和Sx。

解：Sx=12+22+32+···+x2，构造等式（x+1）5=x5+3x2+3x+1，作差（x+1）5-x5=3x2+3x+1可得x5-（x-1）5=3（x-1）2+3（x-1）+1···35-25=3·22+3·2+1，25-15=3·12+3·1+1上述算式相加可得：（x+1）5-15=3（12+22+32+···+x2）+3（1+2+···+x）+x，所以Sx =12+22+32+···+x2=x（x+1）（2x+1）/6

（三）构造方程

方程的构造是高中数学常见的构造方法，学生对方程式比较熟悉，常见于函数中。通过对题目建立等量算式，将抽象的数学题目形象化，提高学生的解题速度，培养思维能力。

例4：设a，b为实数，若a2+b2+ab=1，求a+b的最大值。

解：由韦达定理可知（a+b）2-ab=1，令a+b=t，则ab=t2-1。由韦达定理可知a，b为一元二次方程z2-tz+（t2-1）=0的两个根且a，b为实数，所以△=（-t）2-4×1×（t2-1）≥0，即t2≤4/3即-2 /3≤2 /3则a+b的最大值是2 /3。

（四）构造不等式

特值函数的构造是利用分散函数将条件集中成某个简单函数，逐渐向不等式方向靠拢。

例5：已知函数f（x）是定义在S上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）

解：函数f（x）是定义在S上的偶函数且对称轴x=2，即函数f（x）的周期为4，满足f′（x）1。

（五）构造图形

通过构造图形来解答高中数学，能够更直观的看清题目，使问题更简单。

例6：已知正三棱錐P-ABC，点P，A，B，C都在半径为 的球面上，若PA⊥PB⊥PC，求球心到截面ABC的距离。

解：因为PA⊥PB⊥PC，所以构造正方形，该正方体内接于球，正方体的体对角线是球的直径，球心在正方体对角线的中点。球心到截面ABC的距离=球的半径-正三棱锥P-ABC在ABC面上的高，由题已知球的半径= ，所以正方体的棱长为2，可得出正三棱锥P-ABC在ABC面上的高=2 /3，所以球心到截面ABC的距离=

结论：

根据分析可知，高中数学解题方法离不开构造法的应用，构造法可以运用在上述几个方面，这对学生掌握的知识量有更高的要求，需要学生掌握函数、数列、方程、不等式和图形的相关基础知识，才可以熟练运用构造法。简单有效的问题解决方法，可以激发学生的学习兴趣，提高解题速率，让学生养成良好的分析能力。

参考文献：

[1]李正臣.高中数学解题中应用构造法之实践[J].科学大众（科学教育），2018，02：34.