矩阵在线性代数中的应用案例探讨

刘昱岑

摘要：近年来，随着信息科技的不断发展，社会经济发展速度越来越快，线性代数也开始在各个学科中被广泛应用，其中矩阵的应用领域也逐渐变得广泛。线性代数一直以来都是数学学科学习中的重点和难点，高中阶段的数学学习，线性代数的学习还很简单。本文主要是对矩阵在线性代数中的应用案例探讨。

关键词：矩阵；线性代数；应用分析

一、线性代数的概念

线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量、向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。在高中数学学习中，求解线性方程是重要的知识点，主要学习了线性代数的向量概念，向量也是線性代数中一个最基本的概念。当前，线性代数在数学、物理学和技术学科中都发挥着重要的作用，可见线性代数对于强化知识技能，增益科学智能方面是非常有利的。矩阵是在线性代数中比较具有研究价值且被研究次数最多的，矩阵能表现出一种规律，一种利用代数理论知识来表现的一种数表变化规律，并且经常利用数表来分析得到结论[1]。

二、矩阵在线性代数中的应用案例分析

（一）线性方程组与向量

首先，向量是解决线性方程组的一个有力武器。向量是一个在解析几何和物理中都有的概念，但是在解析几何和物理中的向量概念是不一样的，而且利用向量处理线性方程组是非常有用的[2]。线性代数中的向量与物理中学习到的向量是不同的。线性代数中的向量有两个要素，一个是大小另一个是方向。所以两个向量只要大小和方向一致，那么这两个向量就是相等的，所以向量中只有重合没有平行，不存在相反方向但是相等的向量。因此，向量最基本的运算就是加法和减法两种。比如，α-β=α+β这个向量的加法，就是将它们的各个分量分别相加。另外，由于向量的加法符合平行四边形的运算法则。所以运算的时候，可以把向量α 和向量β假设为一个平行四边形的两条边，这样向量α+β的计算就是那个平行四边形的对角线，平行四边形的对角线向量就是α+β所对应的向量。虽然平行四边形很好进行计算，但是更多的时候更习惯于利用三角形来进行计算。利用三角形的计算更加简单直观，而且更加适合于用于多个向量的计算。利用三角形计算的时候，只需要将各个向量之间首尾连接，最后第一个向量的开始和最后一个向量的结尾进行连接就是结果，它所对应的向量就是这些向量的和所对应的向量。

（二）矩阵在解线性方程组中的应用

可以利用矩阵的特点来进行高中线性方程组求解计算，而且还可以将这个特点进一步应用到方程组中。假设线性方程组生成矩阵形式Ax=b，并根据系数矩阵和增广矩阵来判断方程组是否有解[3]。首先，需要借助矩阵对方程组进行相应的简化，这样能够降低整个方程组求解的难度。比如，Ax=b的矩阵方程求解时，就需要先判断系数矩阵和常数矩阵是否有相同的秩，如果相同则可以进一步求解。这个时候也分为两种情况：当系数矩阵的秩为 n，线性方程组会有唯一的解；但是当秩小于 n 时，那么这个方程组就会有无穷多的解；如果不相同那么这组方程组就没有方程解，无法进行解答。

例如，下面这组线性方程组的求解中，方程组的形式为：

X1 -X2 - 3X3 + X4 = 1

X1 - X2 + 2X3 - X4 = 3

4X1 - 4X2 + 3X3 - 2X4 = 6

2X1 - 2X2 - 11X3 + 4X4 = 0

因此，我们可以通过对方程组进行分析利用矩阵做一个简单的等量变换处理，进而得到方程组相应的解。但是需要注意的是，有一个特殊情况，就是如果系数矩阵和增广矩阵两者的秩是不相等的，那么这个方程组无解。所以要先弄清楚矩阵行列式，然后将矩阵和线性方程组直接对应起来。再进行推算工作，而且要在推算的时候保证这个推算是正确的，这样才能得出一个正确的对应关系，才能将复杂的线性方程简化为一个矩阵向量，然后降低整个方程组的解决，顺利解决方程组的问题。

综上所述，通过分析矩阵在线性代数中的应用案例分析，可以得出一个结论，矩阵的作用是非常大的，它能够在很多方面发挥潜能。伴随着信息技术水平的提高，网络技术的进步，矩阵的应用也会更加深入。随着时代的不断发展，各个学科之间的界限也越来越模糊，线性代数在很多学科中都发挥着它巨大的作用，数学是一门极其重视基础性知识的学科，所以有必要更加重视数学线性代数的研究和学习，它不仅能够简洁化研究，使研究更加合理，而且还有助于扩大思维，增强科学智能，促进数学核心素养的发展。

参考文献

[1]方庆霞，何颖子.线性代数中矩阵的应用研究[J].科技资讯，2014，12（23）：203，205.DOI：10.3969/j.issn.1672-3791.2014.23.155.

[2]王翠丽.谈谈线性方程组与向量[J].考试周刊，2017，（42）：118.

[3]李羿如.矩阵在解线性方程组中的应用研究[J].文理导航（中旬），2017，（1）：15.