借助工具 有效化解定点动圆问题建模困难

林晓坤

摘要：定点动圆因涉及多物体多对象的过程分析，较为困难。通过运用工具，有效化解建模困难。

关键词：定点动圆；建模；工具

带电粒子在有界磁场中的运动是历年高考的高频考点。若发射点的位置不变，带电粒子的速率相同而方向不同，研究这种情况下带电粒子运动情况的问题就称为定点动圆问题。自2005年全国高考理综卷中出现后，其相关题型在各地各类检测卷中时有出现。本文通过分析此类问题的特点，研究其对教学的指导意义，并通过制作工具，解决学生在建模上的困难。

一、定点动圆的分析过程及其的特点

在解题的过程中，学生普遍感觉建立运动情景比较困难，特别是带电粒子在磁场中的轨迹圆的运动尤其困难。这主要是因为在这类题的解题过程中，需要经历以下思维过程：

（1） 尺规作图，做出轨迹圆。如图1

（2）随着初速度方向变化，画出各自对应的轨迹圆，体会轨迹圆的运动。如图2

（3）当轨迹圆转动至与边界相切时，带电粒子或离开磁场、或被吸收，无法完成轨迹圆的后续路径。

该分析过程具有以下特点：①步骤多，逻辑链条长，对作图有较高要求；②临界情况是圆弧和直线相切的关系，不是直线与直线相交，不直观；③未到达临界条件前，以轨迹圆为对象进行转动；越过临界条件后，只能以部分圆弧为对象讨论交点的移动④需要把握切线、垂线、轨迹圆圆心、轨迹圆与边界条件的交点等多个对象，这些对象同时变化又相互制约。因此对思维素质的要求较高。

若对轨迹圆转动过程关注不足，不知道轨迹圆的临界条件，不知道运动过程的全貌，学生甚至无法展开计算。因此，不能只画简单草图，而应舍得投入时间，用尺规作图画出多个规范的轨迹圆，由图像的变化中感知包络圆的存在以及多对象同時变化又相互制约的特点。

二、制作工具，形象展示，快速建模

如果对每道定点动圆的问题都采用画多个轨迹圆的方法来处理，耗时较多。为提高解题速度，可以采用下列方法对轨迹圆的转动及轨迹圆与边界的交点的移动进行直观展示，建立运动情景。

方法一：使用教学软件展示轨迹圆的转动及轨迹圆与边界的交点的移动。

Powerpoint、Flash、几何画板等很多软件都可以演示动态变化。图3是使用“几何画板”软件，对高考原题中带电粒子运动过程的运动建模。

虽然课件的制作对教师的信息技术能力要求较高，但教师可以通过学习获得相应技能。特别在当今“互联网+”的环境下，还可以通过网络付费定制获得。

方法二：活用常见工具，对运动过程大致展示

教师在黑板上演示时，可以用废弃光盘、桶盖等圆盘代表轨迹圆。在圆盘上标出圆心和直径，以圆盘边缘某点代表粒子的发射点，捏着圆盘围绕该点转动，以此展示轨迹圆的转动及轨迹圆与边界的交点的移动。也可以用金属线绕制一个圆环，手捏结点转动。学生在做题时，则可以用钥匙扣等圆环的边缘来绘制轨迹圆。

要注意的是，教师在用圆盘演示时，若采用透明物质，后排学生的观察效果可能较差；若采用不透明物质，对板书线条会遮盖。此外，要对圆盘进行加工，在圆心处钻孔，在各临界状态标记圆心的位置，为后续的几何计算提供方便。学生在使用圆环时，要注意标记点不要移动。此外，使用这种方法，直径和圆心位置不易标记。

方法三：制作简单文具，对变化过程精确展示

1、材料的准备：有机玻璃等透明平板一块，刻刀一把，钻孔工具，记号笔等

2、制作过程：

（1）制作一个边长为3～4厘米的正方形小片。

（2）做对角线，取中心点。以中心点为圆心，做一个半径约1厘米的圆。与对角线相交。过交点分别做圆的切线。

（3）在圆心和两交点处钻孔。用记号笔对各线条着色。

制作的实物如图4。本人称之为“动圆片”。

3、使用方法：

（1）将笔插入某一交点并固定，转动动圆片，让初速度方向与切线重合，得到初始状态的轨迹圆。

（2）保持笔不动，轻推动圆片，使其绕固定点转动，得到

运动的轨迹圆。观察轨迹圆的转动及轨迹圆与边界的交点的移动。

（3）在轨迹圆的各临界状态处按住小片，用笔标出相应的圆心及交点位置。

（4）拿走动圆片，连接定点、圆心与交点，得到相应线段。构造直角三角形，运用数学技巧对试题展开计算。

4、扩展说明：

（1）本工具若使用量较大，也可联系网络商家进行批量定制。

（2）本工具还可与学生常用的量角器有机结合。制作的实物如图5。

结语

《普通高中物理课程标准》指出：“突出物理学科特点，发挥实验在物理教学中的重要作用。”物理学以数学为工具，对经验世界通过建立模型进行研究。不同的问题应通过不同的方法解决：对状态的分析（如物体的受力）通过图片静态展示；对过程的分析（如波的传播）通过动画或视频动态展示；对立体空间通过左手定则、安培定则等建模，对于变化的轨迹圆采用动圆说明也是应有之意。通过提高单个轨迹圆的绘制效率从而提高整个问题的解题效率，而非在数学的重复劳动上消耗大量宝贵的时间和精力，工具的使用帮助研究者快速了解变化过程，完成建模工作，把更多的精力集中于各临界状态的分析，从而切实的提高物理的核心素养。