应用判别式解题时必须注意它的存在性

苏小丽

【关键词】判别式；二次方程

一、提出问题创设情境

题目求实数k取何值时，直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有一个交点.

错解联立方程x2-y2=1，y=kx-1.

消去y得（1-k2）x2+2kx-2=0.

（1）当1-k2=0，即k=±1.当k=1时，x=1，即直线过点（1，0）与双曲线只有一个交点，

当k=-1时，x=-1，即直线过点（-1，0）与双曲线只有一个交点.

（2）当1-k2≠0，即k≠±1时，当Δ=0时，k2-2=0，得k=±2.

即当k=±2时，直线与双曲线相切，即直线与双曲线只有一个交点.

综上所述，当k=±1或k=±2时，直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有一个交点.

二、暴露错解过程寻求原因

分析虽然本题解法有漏洞，但答案无疑是正确的，也正是这个原因，所以非常有必要对此类问题做进一步的探讨.避免解题有逻辑性的错误.

一般的二次方程ax2+bx+c=0，x∈R有一解的充要条件是判别式Δ=0.但对于二次方程ax2+bx+c=0，xR有一解的充要条件并非判别式Δ=0.我们不难发现对于本题，由于双曲线x2-y2=1中x≤-1或x≥1，所以联立方程x2-y2=1，y=kx-1. 消去y得（1-k2）x2+2kx-2=0（x≤-1或x≥1）.

即当1-k2≠0时，是讨论二次方程（1-k2）x2+2kx-2=0在x≤-1或x≥1时有一解的情况.

为了方便，我们设f（x）=（1-k2）x2+2kx-2，结合二次函数图像对（1-k2）x2+2kx-2=0在x≤-1或x≥1时有一解的讨论.

（1）当Δ=0时，在x≤-1上有一解时，有

Δ=0，-2k2（1-k2）≤-1， 即k2-2=0，k1-k2≥1， 解之得k=-2.

（2）当Δ=0时，在x≥1上有一解时，有

Δ=0，-2k2（1-k2）≥1， 即k2-2=0，k1-k2≤1， 解之得k=2.

（3）当Δ>0时，在x≤-1上有一解时，有

Δ>0，1-k2>0，f（-1）≤0，f（1）>0， 或Δ>0，1-k2<0，f（-1）≥0，f（1）<0.

即-k2+2>0，1-k2>0，k2+2k+1≥0，k2-2k+1<0，或-k2+2>0，1-k2<0，k2+2k+1≤0，k2-2k+1>0，解之得无解.

（4）当Δ>0时，在x≥1上有一解时，有

Δ>0，1-k2>0，f（1）≤0，f（-1）>0，或Δ>0，1-k2<0，f（1）≥0，f（-1）<0.

即-k2+2>0，1-k2>0，k2-2k+1≥0，k2+2k+1<0，或-k2+2>0，1-k2<0，k2-2k+1≤0，k2+2k+1>0，解之得无解.

综上所述，当k=±1或k=±2时，直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有一个交点.

三、给出对策化难为易

在求解直线与曲线交点问题时，联立方程求解是必经之路，如何使得解题简单而没有逻辑性错误是我们必须探究的问题.

对于上面的题目，如果联立方程x2-y2=1，y=kx-1， 消去x得1k2-1y2+2k2y+1k2-1=0，y∈R.

（1）当1k2-1=0，即k=±1时，直线与双曲线只有一个交点.

（2）当1k2-1≠0时，对于关于y的一元二次方程1k2-1y2+2k2y+1k2-1=0，因为y∈R，所以Δ=0時，方程有一解.即k2-2k2=0，得k=±2.

即当k=±2时，直线与双曲线相切，即直线与双曲线只有一个交点.

综上所述，当k=±1或k=±2时，直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有一个交点.

结论：在解决直线与非封闭曲线（比如，抛物线与双曲线）的交点问题时，联立方程求解的过程中消去其中一个变量时，力求保留属于全体实属的一个变量，使得问题求解简单且没有逻辑上的错误.

例如，在求解当k取何值时，直线y=x+k与抛物线y=x2的交点问题时，我们联立方程y=x+k，y=x2， 消去y，得到x2-x-k=0，因为x∈R，所以直接用判别式进行判断.

例如，求解当k取何值时，直线y=x+k与抛物线y2=x的交点问题时，我们联立方程y=x+k，y2=x， 消去x，得到y2-y+k=0，因为y∈R，所以直接用判别式进行判断.

对于上述题目的求解，如果利用数形结合的方法求解更为容易，限于篇幅，本文不再赘述.