二重极限不存在判定法探讨

何鹏光

【摘要】一元函数的极限是否存在，可以通过其左右极限来判定;而二元函数的定义域是平面点集，二重极限是否存在必须从整个邻域的收缩过程来考察.本文根据函数f（x，y）的结构特征，从二重极限的定义、运算法则和坐标变换来探讨判定二重极限不存在的方法.

【关键词】二重极限;不存在;定义法;运算法;坐标变换法

判定一元函数的极限是否存在，只需讨论它的左右极限就可以了;而二元函数是定义在一个平面点集上，二元函数的极限是否存在，必须考虑在整个邻域的收缩过程中函数的取值情况.即使沿着多条趋近曲线的极限都存在且相等，也不能确定二重极限的存在性.本文从二重极限的定义、运算法则和坐标变换出发，去判定一些二重极限不存在.

一、定义法

根据二重极限的定义[1]，若P（x，y）沿着不同的路径趋于P0（x0，y0）时，函数f（x，y）趋于不同的值，则lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）不存在.

1.若f（x，y）满足f[x，kω（x）]=φ（k）或f[kμ（y），y]=ψ（k），则lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）不存在.

事实上，当（x，y）沿路径y=kω（x）趋于（x0，y0）时，limx→x0f[x，kω（x）]=φ（k），此结果因k而异，所以lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）不存在.

同理，可证另一种情形.

例1证明lim（x，y）→（0，0）xyx2+y2不存在.

证当（x，y）沿路径y=kx趋于（0，0）时，limx→0y=kxkx2（1+k2）x2=k1+k2，结果因k而异，所以lim（x，y）→（0，0）xyx2+y2不存在.

2.若函数f（x，y）满足f（x，y）=f（1，yxα），则lim（x，y）→（0，0）f（x，y）不存在.

事实上，当（x，y）沿路径y=kx-α（x>0）趋于（0，0）时，

∵limx→0y=kx-αf（1，kx-α·xα）=f（1，k），其结果因k而异，

∴lim（x，y）→（0，0）f（x，y）不存在.

例2证明lim（x，y）→（0，0）xy2x2+y4不存在.

证∵f（x，y）=xy2x2+y4=f1，yx，当（x，y）沿路径y=kx（x>0）趋于（0，0）时，limx→0y=kxk2x2x2+k4x2=k21+k4，此结果因k而异，

∴lim（x，y）→（0，0）xy2x2+y4不存在.

3.设函数y=f[g（x，y）]的定义域为D，U={u|u=g（x，y），（x，y）∈D}.（x0，y0）是D内的一个聚点，如果f（u）区域U上连续且严格单调，并在D上存在两条不同的路径y=yi（x）（i=1，2），满足limx→x0yi（x）=y0，limx→x0g[x，yi（x）]=ui∈U（i=1，2）且u1≠u2，则二重极限lim（x，y）→（x0，y0）f[g（x，y）]不存在.

证∵f（u）在U上连续，

且limx→x0g[x，yi（x）]=ui∈U（i=1，2），

∴limx→x0y=yi（x）→y0f[g（x，y）]=limx→x0f{g[x，yi（x）]}

=f（ui）（i=1，2）.

∵f（u）在U上严格单调，且u1≠u2，

∴f（u1）≠f（u2），

∴lim（x，y）→（x0，y0）f[g（x，y）]不存在.

例3证明lim（x，y）→（0，0）sinxx+x2+y2不存在.

证∵f（u）=sinu在（0，1）内连续且严格单调增加，并且

limx→0+y=kxxx+x2+y2=11+1+k2∈（0，1），

∴limx→0+y=kxsinxx+x2+y2=sin11+1+k2，結果因k而异，

∴lim（x，y）→（0，0）sinxx+x2+y2不存在.

二、运算法则法

1.若f（x，y）=α（x，y）+β（x，y），并且lim（x，y）→（x0，y0）α（x，y）存在，lim（x，y）→（x0，y0）β（x，y）不存在，则lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）不存在.

事实上，若lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）存在，则根据二重极限的加法法则[1]，得

lim（x，y）→（x0，y0）β（x，y）=lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）-lim（x，y）→（x0，y0）α（x，y）存在，与已知矛盾.

例4证明lim（x，y）→（0，0）xcos1x2+y2+sin1x+y不存在.

证∵lim（x，y）→（0，0）xcos1x2+y2=0，lim（x，y）→（0，0）sin1x+y不存在，

∴lim（x，y）→（0，0）xcos1x2+y2+sin1x+y不存在.

2.若函数f（x，y）=α（x，y）β（x，y），其中α（x，y）≠0，lim（x，y）→（x0，y0）α（x，y）存在，lim（x，y）→（x0，y0）β（x，y）不存在，则lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）不存在.

事实上，若lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）存在，则根据二重极限的乘除法法则[1]，得

lim（x，y）→（x0，y0）β（x，y）=lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）lim（x，y）→（x0，y0）α（x，y）存在，与已知矛盾.

例5证明lim（x，y）→（0，0）xyx+y+1-1不存在[2].

证lim（x，y）→（0，0）xyx+y+1-1=lim（x，y）→（0，0）xyx+y（x+y+1+1）.

∵lim（x，y）→（0，0）xyx+y=limx→0y=kx2-xx（kx2-x）kx2=limx→0x-1k=-1k，

∴lim（x，y）→（0，0）xyx+y不存在.

又∵lim（x，y）→（0，0）（x+y+1+1）=2，

∴lim（x，y）→（0，0）xyx+y+1-1不存在.

三、坐标变换法

令x=rcosθ，y=rsinθ，则f（x，y）=φ（r，θ）.若 limr→0φ（r，θ）=ψ（θ）≠0，此结果因θ而异，则二重极限lim（x，y）→（0，0）f（x，y）不存在[3].

例6证明lim（x，y）→（0，0）xx2+y不存在.

证令x=rcosθ，y=rsinθ，则（x，y）→（0，0）r→0.

∵limr→0rcosθr2cos2θ+rsinθ=limr→0cosθrcos2θ+sinθ=cotθ，结果因θ而异，

∴lim（x，y）→（0，0）xx2+y不存在.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].北京：高等教育出版社，2014：60.

[2]米永强，张峰.求解二元函数极限不存在性问题的方法[J].宁夏师范学院学报，2016（6）：115.

[3]李雪莲，高军涛.用极坐标变换计算二重极限[J].高等数学研究，2011（2）：26.