矩阵按行列分块方法的应用

张亮亮　薛震

【摘要】对矩阵进行分块是线性代数中一种很重要且简便有效的方法.本文举例说明了使用按行列分块的方法来证明矩阵秩的等式和不等式、线性方程组解的相关问题是简捷方便有效的.

【关键词】矩阵；行分块法；列分块法

【基金项目】本文受到中北大学教育教学改革项目（20160223）的支持.

对矩阵进行分块是线性代数中一种很重要且简便有效的方法.矩阵分块方法不唯一，常用的有四种：行分块法 A=α1α2αm、列分块法A=（β1，β2，…，βn）、分成两块A=（A1，A2）、分成四块A=C1C2C3C4.下文将举例说明矩阵按行列分块方法在解决秩、线性方程组和向量组等相关问题中的应用.

一、利用按行列分块方法解决秩的相关问题

例1（矩阵秩的性质）设A=（aij）m×n，B=（bij）n×s，证明r（AB）≤min[r（A），r（B）].

证明一方面，将A分成m×n块，B按行分块，各行记为Bi（i=1，2，…，n），则

AB=a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amnB1B2Bn=a11B1+a12B2+…+a1nBna21B1+a22B2+…+a2nBn…………………am1B1+am2B2+…+amnBn，

所以AB的行是B的行的線性组合，从而r（AB）≤r（B）.

另一方面，将A按列分块A=（A1，A2，…，An），B分成n×s块，则

AB=（b11A1+b21A2+…+bn1An，b12A1+b22A2+…+bn2An，…，b1sA1+b2sA2+…+bnsAn），

所以AB的列是A的列的线性组合，从而r（AB）≤r（A）.

综上所述，r（AB）≤min[r（A），r（B）].

例2设A=（aij）m×n，B=（bij）n×s，AB=O，证明r（A）+r（B）≤n.

证明将A分成1×1块，B按列分块B=（B1，B2，…，Bs），则AB=（AB1，AB2，…，ABs），由AB=O知B的列是齐次线性方程组AX=0的解，所以基础解系中含n-r（A）个解，从而r（B）≤n-r（A），即r（A）+r（B）≤n.

例3设A为m×n矩阵，I为n阶单位阵，证明：（1）XA=I（X为n×m未知矩阵）r（A）=n；（2）由AB=AC可得B=Cr（A）=n，其中B，C都是n×s矩阵.

证明（1）设A的行向量组为α1，α2，…，αm（均为n维），I的行向量组为ε1，ε2，…，εn（即n维单位坐标向量组）.

必要性.若矩阵方程XA=I有解，则ε1，ε2，…，εn可由α1，α2，…，αm线性表示，又因为n维向量组α1，α2，…，αm可由ε1，ε2，…，εn线性表示，所以α1，α2，…，αm与ε1，ε2，…，εn等价，从而r（α1，α2，…，αm）=r（ε1，ε2，…，εn），即r（A）=n.

充分性.若r（A）=n，则n维向量组α1，α2，…，αm的秩是n，从而任何n维向量都可由它线性表示，当然ε1，ε2，…，εn也可由它线性表示，由线性组合系数所构成的n×m矩阵即为XA=I的解.

（2）必要性.用反证法.假设r（A）

充分性.若r（A）=n，由上知方程XA=I有解X=K，即KA=I.于是由AB=AC可得（KA）B=（KA）C，即B=C.

二、利用按行列分块方法解决线性方程组的相关问题

例4设A为n阶方阵，则AX=b对任何b都有解|A|≠0.

证明充分性.由克拉默法则易证.

必要性.将A按列分块A=（A1，A2，…，An），则AX=b可表为x1A1+x2A2+…+xnAn=b，特别地取b=ei（i=1，2，…，n），则向量组A1，A2，…，An与e1，e2，…，en等价，所以r（A）=r（A1，A2，…，An）=r（e1，e2，…，en）=n，从而|A|≠ 0.

例5设A为m×n阵，β=（b1，b2，…，bn）T是n维列向量，证明方程组Ax=0的解全是方程βx=0的解的充要条件是β可由A的行向量组α1，α2，…，αm线性表示.

证明充分性.设存在常数k1，k2，…，km，使得β=k1α1+k2α2+…+kmαm，令x=（x1，x2，…，xn）T为Ax=0的解，其中A=[α1，α2，…，αm]T，即αix=0，i=1，2，…，m，于是βx=k1α1x+k2α2x+…+kmαmx=0，即Ax=0的解全是方程βx=0的解.

必要性.构造线性方程组Ax=0，βx=0， 记Cx=0.显然Cx=0的解必是Ax=0的解.Ax=0的解全是方程βx=0的解，所以Ax=0的解全是方程Cx=0的解，因此，Ax=0与Cx=0是同解方程组，则有n-r（A）=n-r（C），所以r（A）=r（C），即r（α1，α2，…，αm）=r（α1，α2，…，αm，β），显然β可由α1，α2，…，αm线性表示.

例6设A=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann 且|A|=0，|A|中元素aij的代数余子式Aij≠0，试证（Ai1，Ai2，…，Ain）T是方程组Ax=0的一个基础解系.

证明∵|A|=0，

∴AA=|A|I=O，A=A11A21…An1A12A22…An2…………A1nA2n…Ann，

将A按列分块A=（α1，α2，…，αn），则AA=A（α1，α2，…，αn）=（Aα1，Aα2，…，Aαn）=（0，0，…，0），即

Aαi=0（i=1，2，…，n），说明αi是齐次线性方程组Ax=0的解.又∵|A|=0，Aij≠0，则存在一个n-1阶的非零子式，∴r（A）=n-1，故齐次线性方程组Ax=0的基础解系只包含n-r（A）=1个解向量，任意一个非零解向量都可作为Ax=0的基础解系，由Aij≠0知αi≠0，∴αi=（Ai1，Ai2，…，Ain）T≠0是Ax=0的一个基础解系.

三、利用按行列分块方法解决向量组的相关问题

例7设A，B分别为n×m与m×n阵且AB=In，证明B的列向量组线性无关，A的行向量组线性无关.

证明设B=（B1，B2，…，Bn）且x1B1+x2B2+…+xnBn=0，即（B1，B2，…，Bn）x1x2xn=0，从而BX=0，两端左乘A得ABX=0，又AB=In，从而X=0，则x1=x2=…=xn=0，所以B的列向量组线性无关.

由上文知可考虑A′X=0，则B′A′X=0，从而（AB）′X=0，又AB=In，从而InX=0，即X=0，所以A′的列向量组线性无关，从而A的行向量组线性无关.

从上述例题可以看出，矩阵按行列分块这一有力工具，无论是证明矩阵秩的（不）等式，还是处理线性方程组解的相关问题，都是简捷灵活有效的，具有较大的优越性.

【参考文献】

[1]高玉斌.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]杨子胥.高等代数精选题解[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]牟俊霖，李青吉.洞穿考研数学：理工类[M].北京：航空工业出版社，2003.

[4]杨子胥.高等代数习题解（修订版）[M].济南：山东科学技术出版社，2003.