自然的微积分

本栏目前一期故事中，鹏飞和浩天再次回到古希腊，遇到了芝诺在街头演说，说什么“运动是不可能的”。芝诺还留下了三个悖论让人们思考。

众人一下子不知该如何解决这三个悖论，于是在街头七嘴八舌地议论起来：

“这个巴门尼德的高足，搞什么怪？很显然的事实经他一说全乱套了——运动是不可能的？”

“既然运动是不可能的，他怎么走掉了呀？哈哈！”

“一定是逻辑上出了什么问题！”

“是的，运动当然是可能的了！所以我们也可以走了，走吧！回去好好想想！”

人群散去，只留下我们的这两个外来客。

浩天：“问题出在哪里呢？”

鹏飞：“其实，芝诺自己也无法解决这些悖论。第一个叫‘二分法悖论，一条有限的线段，每次对半分，可以无限分下去；第二个叫‘阿喀琉斯追不上龟悖论，说的也是线段无限可分；第三个悖论‘飞矢不动，认为空间和时间是由一些离散的点所组成，在每一空间点和相对应的时间点上，箭都有一个确定的位置，没有移动，所以在所有时空点上箭都没动。”

浩天：“那芝诺的意思就是说，空间和时间都是无限可分的，都可分成无限小的点，这些无限小的点没有大小，只占据一个位置。”

鵬飞：“假设时空都可以看作是由这些不可再分割的无限小的点组成，芝诺还有一个否定这个观点的悖论没讲。他的第四个悖论是‘运动场悖论。”

鹏飞边说边在地上给浩天画图。

“假设在操场上，由所谓的无限小的紧挨着的点组成了队列B、C和观众席A，它们正好对齐。现在B、C两个队列开始移动，在一个最小时间单位里，B和C相对于观众席A分别向右和向左各移动了一个最小距离单位。那么问题来了。相对于B而言，在一个最小时间单位里C移动了两个距离单位。队列C既可以在一个最小时间单位里相对A移动一个距离单位，也可以在一个最小时间单位里相对B移动两个距离单位。也可以说，队列C在半个最小时间单位里移动一个距离单位。这说明最小时间单位的假设是不成立的，因为它还可以再分。如果说不能再分，结论就是半个时间单位等于一个时间单位。这一矛盾说明时空不是由不可分割的无限小的点组成的，同时也说明队列是移动不了的，运动是不存在的。”

鹏飞环视了一下这古希腊的街头：“知道吗，还有一位学者叫德谟克利特。他提出，任何事物，包括时空，都是由不可再分的原子构成，这就是‘原子论。”

浩天：“‘原子论？古希腊人化学水平这么高啊？”

鹏飞呵呵一笑：“德谟克利特的‘原子论所说的原子不是我们所说的原子，而是‘原始粒子的意思。”

德谟克利特认为原子是最小的、不可分割的物质粒子。原子之间存在着虚空，无数原子自古以来就存在于虚空之中，它们既不能创生，也不能毁灭，任何变化都是由它们的结合和分离引起，它们在无限的虚空中运动，构成万物。

德谟克利特也是个数学家，他把原子学说运用到了数学上，提出数学原子论：每一个数就是一个不可分割的原子，空间里的每一个点也是一个原子，时间上的每一时刻也是一个原子。因此，由无数个点排列成的一条线是有宽度的，不然无数条线怎么能排成一个面？面也是有厚度的，否则多个面无法堆积成有体积的物体。

鹏飞：“后来，在1803年，英国科学家道尔顿提出物质是由原子构成的。这里的原子是有前提的——化学反应中不变的最小粒子。其实在核反应中，原子是变化的，但这是大约1900年后出现的概念，与德谟克利特的‘原子论不是一回事。”

浩天：“因此，他们认为物质可以无限分下去，但最终有一个极小的、原始的东西不可再分。”

鹏飞：“但芝诺有一句格言：将一物加在另一物之上而不使其增大，再将它从另一物中减去又不使其减小，那么该物就是无。他反对无穷小这一观念。”

浩天：“看来，芝诺这四个悖论是无法用数学原子论来解释的。可是我们来的目的——用剪刀剪断纸上画的线，到底是断口上那个点粘在了剪刀刃上，还是剪刀从两个点之间剪过去了，还是一个点被剪成两半了？这还是没有答案啊！”