“圆的面积”教学与思维能力培养

魏万茂

摘 要：“圆的面积”是小学数学教学中的重要内容，它无论对培养学生解决实际问题的能力，还是对培养学生的思维能力、想象能力、动手操作能力都是很好的教材。特别是对培养学生的探究思维能力、转化思维能力、極限思维能力等具有非常重要的作用。

关键词：圆的面积；探究思维能力；转化思维能力；极限思维能力

“圆的面积”是小学数学教学的重要内容，具有举足轻重的地位和作用，它无论对培养学生解决实际问题的能力，还是对培养学生的思维能力、想象能力、动手操作能力都是很好的教材。这里就“圆的面积”教学中学生思维能力的培养谈些粗浅的看法，以便抛砖引玉。

一、探究思维能力的培养

在明确了“什么是圆的面积”的基础上，进一步引导学生探究：圆的面积大小与什么因素有关？有什么样的关系？

凭借日常生活经验，第一个问题不难回答，（无论是回答与半径有关，与直径有关，还是回答与周长有关，归根结底都是与半径有关），对第二个问题的回答就不是轻而易举的，此时，教师应紧紧抓住培养学生探究思维能力的契机，由浅入深，由易到难，逐步启发引导学生深入探究：圆的面积大小与半径有关，有什么样的关系？

先引导学生对圆的面积的范围进行粗略的界定：□<圆的面积<□

探究得出：内接正方形的面积<圆的面积<外切正方形的面积 （参阅浙教版教材）

即2r2

然后，逐步“缩小包围圈”，直到精确推导出圆的面积的计算公式。

具体的探究过程可以参阅下面转化思维能力的培养和极限思维能力的培养，这里就不赘述。

二、转化思维能力的培养

在引导学生深入探究“圆的面积”与半径有什么样的关系的过程中，不可避免地要用到转化思想，下面谈谈转化思维能力的培养。

《怎样解题》的作者波利亚说：“解题就意味着转化，将尚未解决的问题转化为已经解决的问题。”“圆的面积”就是我们期待解决的新问题，新就新在以前学过的面积都是直线图形的面积，“圆的面积”是曲线图形的面积。能不能将曲线图形的面积转化为直线图形的面积？怎样将曲线图形的面积转化为直线图形的面积？这正是需要我们解决的问题。

在明确思路的基础上，引导学生探究怎样将“圆的面积”转化为已经学过的直线图形的面积？这可以像青岛版教材那样，在探究圆的面积与圆内接正方形和圆外切正方形的关系的基础上，引导学生进一步探究，把正方形增加为正8边形、正16边形、正32边形……圆的面积与圆内接正多边形和圆外切正多边形的关系，得出结论：边数越多，正多边形的面积就越接近于圆的面积。当然也可以反过来说成：边数越多，圆的面积就越接近于正多边形的面积，这样，圆的面积就转化为正多边形的面积，转化为直线图形的面积。

此时，圆被分割成无数个小扇形，如果把这些小扇形穿插、拼接起来，就会形成类似平行四边形的形状。分得越细，越接近于平行四边形，当分得无限细的时候，类平行四边形就变成了平行四边形、长方形，圆的面积就转化成了长方形的面积。

当然，圆的面积也可以转化成我们学过的其他直线图形的面积。这里就不再赘述。

三、极限思维能力的培养

在引导学生进行转化思维的过程中，我们涉及了极限思维，下面谈谈极限思维能力的培养。

在把“圆的面积”转化为直线图形面积的过程中，有一个重要的步骤，就是将圆分割、拼接。先是平均分割成8分，进行穿插、拼接，得到类平行四边形，但它并不是严格意义上的平行四边形，因为它的边沿是波浪形的，不是直的。再平均分成16等分，32等

分……进行穿插、拼接，得到的四边形越来越接近于平行四边形，它的边沿波浪越来越细，但它仍不是严格意义上的平行四边形。

这时，就要不失时机地启发学生的想象力：假如我们把圆分割得无限细，小扇形就变成了小三角形，穿插、拼接得到的四边形的外沿就不再是波浪线，就变成了直线，这时的四边形就变成平行四边形、长方形。这样，由简单到复杂，由具体到抽象，由有限到无限，借助学生的想象能力，很好地培养了学生的极限思维能力。