高中数学排列组合常用的解题方法探讨

张楠

摘 要 排列组合作为高中数学的重要学习内容，同时也是高考必考的知识点，对于高中阶段的学生而言至关重要。就目前来看许多学生在解决排列组合问题时思路不够开阔，无法及时解决问题，导致教学效率难以提高。因此，本文分析高中数学排列组合常用的解题方法，从而进一步提高学生的解题能力。

关键词 高中数学 排列组合 解题方法

1间接法

即部分符合条件排除法，采用正难则反，等价转换的策略。为求完成某件事的方法种数，如果我们分步考虑时，会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复，就要考虑用分类法，分类法是解决复杂问题的有效手段，而当正面分类情况种数较多时，则就考虑用间接法计数。

例如 ：从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法？

A.240 B.310 C.720 D.1080 正确答案 ：B

解析 ：此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成 C（11，4）-C（6，4）-C（5，4）=310。

2特殊优先法

特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。

例如：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）。

A.280种 B.96种 C.180种 D.240种 正确答案 ：D

解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有 C（4，1）=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有 A（5，3）=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有 C（4，1）譇（5，3）=240种，所以选 D。

3捆绑法

所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间的顺序。注意 ：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列。

例如：5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？

A.240 B.320 C.450 D.480 正确答案 ：B

解析：采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有 A（6，6）=6？？？？种，然后3个女生内部再进行排列，有 A（3，3）=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有 ：A（6，6）譇（3，3）=320（种）。

4插空法

所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其他元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。注意 ：（1）首要特点是不邻，其次是插空法，一般应用在排序问题中 ；（2） 将要求不相邻元素插入排好元素时，要注释是否能够插入两端位置 ；（3）对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”。

例如：若有甲、乙、丙、丁、戊五個人排队，要求甲和乙两个人必须不站在一起，且甲和乙不能站在两端，则有多少种排队方法？

A.9 B.15 C.12 D.20 正确答案 ：C

解析：先排好丙、丁、戊三个人，然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中，因为甲、乙不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为 A（3，3）譇（2，2）=12种。

5插板法

所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少的板插入元素之间形成分组的解题策略。需要注意的是其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。

例如：将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？

A.28 B.24 C.32 D.48 正确答案 ：A

解析：解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以将8个球排成一排，然后用两个板插到8个球所形成的空里，即可顺利的把8个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是 C（8，2）=28种。

6总结

排列组合是高中生数学的重要内容，虽然总体难度不高，但是对于学生的逻辑思维能力与审题能力都提出了较高的要求，学生容易在解题时出现问题。为了提高学生的学习效率与质量，要重视引导学生对自身学习思维理念的认识，引导学生主动分析探讨数学问题，还可以定期实施针对性训练、加强学生思维训练力度、对概念理解不断深化、适当进行课后反思等，为高中数学排列组合教学效果的有效提升奠定重要基础。