数学专业线性代数教学中的PIPA过程

谭友军

摘 要：本文介绍了在数学专业线性代数教学中遵循的“问题（Problem）-直觉（Intuition）-证明（Proof）-应用（Applications）”（PIPA）过程。这种PIPA过程有助于学生理解概念，培养抽象思维能力和数学证明能力，为后继课程的学习打下坚实的基础。

关键词：线性代数；教学；PIPA

一、引言

线性代数是数学专业本科一年级主干课程之一，是后继专业课程的基础。线性代数抽象程度高，理论体系复杂，一直是公认的教学难度较大的课程[1]。对于普通数学专业一年级新生来说，由于没有足够的物理、几何和其他应用学科方面的背景，而且缺乏数学证明（mathematical proving）方面的经验，所以他们要理解线性代数中的基本概念和大量解决问题的方法是很有难度的。一般教科书中的“定义—引理—证明—定理—证明—推论”（DLPTPC）模式对于大多数学生来说是糟糕的体验[2]。因此，关于线性代数的教学研究一直是很活跃的[3-7]。

近年来，我们在数学专业线性代数教学中进行了一些探索，在进行基本概念和基本理论教学时主要遵循“问题（Problem）—直觉（Intuition）—证明（Proof）—应用（Applications）”（PIPA） 的过程。我们知道，线性代数主要概念来自于分析、几何、物理、代数以及一些应用学科中的具体问题。所以，我们坚持在介绍新的概念之前力争把相关问题、背景讲解清楚，使学生了解代数抽象过程的必要性。我们通常在提出具体问题之后，鼓励学生先对相应的问题根据直觉自己解答，这类似于Mazur的polling方法[1]。學生直觉是否正确并不是重要的，但是将有助于学生积极参与教学过程，并逐渐意识到知识积累对解决问题的重要性。线性代数是一门证明课程 （proving course）[2]，我们在介绍了关于某个问题或概念的结论后，首先强调数学证明的必要性，然后再强调证明过程中所用的方法。基本概念和结论的应用可以是适当的例题和习题，也可以是对定理的补充讨论。上述PIPA过程适用于线性代数的大多数基本概念和基本理论教学，有助于学生理解抽象概念的来龙去脉，提高解决问题的能力。另外，一次PIPA过程的结束，往往会在“应用”阶段产生新的“问题”，从而又是一次新的PIPA过程的开始。

二、PIPA过程

1.问题

线性代数基本概念来源于一些较为具体的问题，从具体问题着手无疑会帮助学生理解抽象概念，并产生研究抽象概念的兴趣。同时，线性代数的主要概念之间有很强的内在联系，以至于可以从线性代数的任意基本概念开始教学。

为了引入抽象概念，我们在介绍具体问题时充分利用学生已经掌握的概念，选择学生相对说来容易理解的问题。例如，为了引入矩阵的秩，我们提出的问题是如何求一个向量组的秩；为了引入向量组的秩，我们提出的问题是如何判断一个向量组的线性相关性；为了引入向量组的线性相关和线性无关，我们提出的问题是如何刻画零向量由已知向量组线性表出的方式；为了引入线性表出的概念，我们提出的问题是如何用向量的语言来描述线性方程组解的存在性；为了引入任意数域上的向量，我们提出的问题是如何解释Gauss消元法得到的关于线性方程组的结论（我们强调，由于在运用Gauss消元法时所采取的步骤没有唯一性，所以学生需要理解这种表面上看起来的非唯一性是否是本质的）。这样一来，学生可以弄清这些抽象概念的来源，从而深刻理解引入这些概念的必要性。我们认为，如果没有引入相对来说较为具体的问题，而是像教科书上那样直接写出诸如线性无关之类的定义，那么大多数学生理解起来是很有难度的。即使在写出定义之后再举出若干例子，也未必能取得很好的效果，因为学生很可能一开始就对直接给出的概念产生抵触情绪。

与其他一些专业课程不同的是，线性代数的某些抽象概念来自于学生实际上还没有学过的课程。这是在选择问题时我们遇到困难的主要原因。例如，尽管学生在中学阶段对二元或三元方程组有所了解，但是，由于缺乏诸如运筹学、数理统计等方面的知识，大多数学生难以想象未知数和方程个数很多的线性方程组的存在性，从而难以理解教科书上直接给出的、由含n个未知数的m个线性方程组成的线性方程组。由于学生还没有理解更为抽象的向量空间的概念，单纯用解析几何引入线性方程组的做法是不可取的（此时，学生对空间解析几何也了解得不多）。又比如，像数域这样非常基本的概念，由于学生缺乏数论、代数几何方面的知识，他们难以理解引入数域的必要性。

对于上述困难，一方面我们适当介绍一些后继课程的基本研究内容（如数理统计中的最小二乘法），帮助学生理解复杂线性方程组的存在性和重要性；另一方面，通过全面了解学生在数学分析、解析几何等课程中的学习进度来提取一些具体问题。比如我们在讲解二次型理论时，由于事先了解到学生在数学分析中已经学过多元函数的极值，我们利用多元函数极值点的判别问题引入正定、负定的概念，使学生明白研究正（负）定的实对称矩阵是有意义的。

2.直觉

我们在教学中提出具体问题后，鼓励学生根据自己的直觉直接给出对问题的看法，从而激发学生积极参与进一步讨论的兴趣，为抽象概念的引入或基本结论的导出做铺垫。

为了达到激励的目的，我们需要对某些问题作适当的简化，甚至只要求学生对一些特殊情形凭直觉给出解答。例如，在提出如何判断任意数域上的两个方阵是否相似这样的大问题后，我们提出的特殊情形下的问题是：如何判断一个方阵与单位阵相似？有的学生能很快根据相似的定义给出正确的回答。接下来，我们把单位阵换成数量阵、对角阵、三角阵，学生根据自己的直觉给出解答后，逐渐自主地意识到这种用相似的定义判别是否相似的方法不是优的、一般的算法，从而为进一步讨论打下了基础。

学生对问题的直觉即使是不正确的，也会对他们掌握基本概念和基本结论有所帮助。例如，在问到是否存在只有两个解的线性方程组时，很多学生根据直觉回答存在。然后，我们引导学生再次回顾Gauss消元法，让学生自己修正解答，并得到完整的正确结论。

3.证明

数学证明是数学发展的推动力之一。与其他专业的线性代数教学不同的是，数学专业线性代数教学的主要功能之一是培养学生的数学证明意识和能力。大多数数学专业一年级学生缺乏对数学证明的必要性的足够认识，如很多学生容易混淆具体算法与证明的区别，从而难以理解诸如唯一性的结论的证明。另外，数学证明本身也会帮助学生理解抽象概念和一些基本结论。例如在可逆矩阵定义中，说A可逆是指存在矩阵B使得AB=BA=E为单位阵。但是，我们又有如下的结论：方阵A可逆当且仅当存在方阵B使得AB=E或BA=E。很多学生感到困惑的是：根据这个结论，为什么不直接把定义中的“且”改成“或”呢？如果学生理解了可逆矩阵的唯一性的证明，那么这种困惑就会得到解决。再比如，像方阵的乘积的行列式等于行列式的乘积这样深刻的定理（对于学生来说，矩阵乘积的定义与方阵的行列式的定义相差得太远了），如果对这个定理的证明过程没有充分的认识，那也将是难以理解的。

在提出问题并且让学生自己根据直觉得出一些解答后，我们通常通过共同演算导出正确的结论，或者直接以命题、定理的形式写出正确的结论。由直接演算得到结论的过程就是证明。而且，线性代数中更多的基本结论的证明需要概念化而不是具体计算。所以，我们在教学中特别重视对那些概念化的证明的讲解。首先，我们帮助学生进一步熟悉那些定理或命题中涉及的概念。其次，我们强调所涉及的证明方法。例如，我们要求学生总结：哪些定理的证明运用了第二归纳法、数域的扩充（如实数域上不可约多项式的分类、实对称矩阵的特征值问题、λ-矩阵的应用）等技巧。最后，我们通常会和学生讨论定理或命题可以在什么程度上进行推广。

由于有些证明的技巧性太强，或者涉及的概念太多，有关定理或命题的证明的讲解容易使学生感到气馁。在这种情况下，我们通常先和学生讨论出证明的主要步骤，然后把细节留给学生思考，必要时再一起补充完整，这样就有可能增强学生的自信。

4.应用

有关线性代数基本概念和基本结论的应用主要是通过例题和习题来实现的。例题和习题的目的在于帮助学生自我确认在多大程度上解决了开始提出的问题（有些问题需要在后继课程中才能进一步讨论），以及对经典方法（比如Gauss消元法、Schmidt正交化方法、第二归纳法等）的掌握程度。我们重视习题课的教学，尽量做到让学生都有机会和教师交流自己的体会。

作为例题和习题教学的补充，我们也鼓励学生从事一些大型的、需要协作的探究活动。例如，我们鼓励学生对某些算法（如辗转除法、Gauss消元法、求矩阵的逆等）进行计算机编程。尽管线性代数中出现的绝大多数算法已经有现成的package可用，但是学生自己的工作是有意义的。学生通过编程明白了困难所在，从而有可能激发他们的研究兴趣。

在教学实践中，我们通常会在应用阶段提出还没有讨论过的问题，从而开始下一轮PIPA过程。

三、教学案例：矩阵的相似

按传统教学方法，我们导出了矩阵相似的定义：矩阵的相似来自于有限维线性空间上线性变换在不同基下的矩阵之间的关系。在此基础上，关于矩阵相似的教学内容主要集中在可对角化、特征值、特征向量、特征子空间、特征多项式、不变子空间、与准对角阵相似、与三角阵相似、λ-矩阵理论、有理标准型与Jordan标准型等方面。我们不像教科书上那样直接给出特征值、特征向量、不变子空间的定义，而是在讨论可对角化、准对角化问题的过程中自然地引入。以下是我们连续进行的几个PIPA过程，其中的矩阵指的是数域F上的方阵。

P： 一般情况下，如何计算线性变换的核与像？

I： 在学生回答的基础上，诱导学生意识到线性变换在基下的矩阵的重要性。

P： 利用相似的概念，通过直接演算证明線性变换的核与像不依赖于基的选取，让学生理解该结果与直觉的一致性。

A： 举例说明基的选取影响计算量，从而提出下面的问题：

P： 如何选取有限维线性空间的基，使得某个线性变换在这个基下具有形式上较为简单的矩阵，比如说对角阵或上三角阵？

I： 在学生回答的基础上，引导学生意识到讨论矩阵的相似问题的重要性。

P： 证明一些关于矩阵相似的必要条件的结论。

A： 给出一些矩阵不相似的例子。利用矩阵的列向量形式导出矩阵可对角化的必要条件，并特别强调上述问题没有得到完整解答。于是提出以下的问题：

P： 上面得到的可对角化的必要条件是否也是充分的？

I： 在学生回答的基础上，引导学生再次检查原先的关于必要条件的计算，并注意可逆矩阵的列向量组线性无关。

P： 提出特征值、特征向量、特征子空间的概念，给出矩阵可对角化的、用特征向量来描述的充要条件，并完善上述证明过程。

A： 给出计算可对角化矩阵的多项式例子。导出线性变换的特征值、特征向量、特征子空间的定义，说明如何利用矩阵来计算线性变换的特征值、特征向量和特征子空间。于是提出以下的问题：

P： 对于给定数域F上的一个矩阵，如何求它的特征值、特征向量和特征子空间？

I： 在学生回答的基础上，引导学生意识到齐次线性方程组的作用。

P： 给出特征多项式的概念，并证明特征多项式的基本性质。

A： 给出计算方面的例子，解释可对角化情形下过渡矩阵的构造。让学生明白矩阵在数域F上可能没有特征值，从而在F上更不可能对角化。给出F上的矩阵的特征值全在F中，但在F上仍然不可对角化的例子。于是提出以下的问题：

P： 给定数域F上的一个矩阵，如何判断它是否相似于一个准对角阵？

I： 在学生回答的基础上，引导学生意识到分块矩阵的重要性。

P： 给出矩阵和线性变换的不变子空间的概念，指出特征子空间是特殊的不变子空间。利用列向量和分块矩阵导出矩阵相似于准对角阵的一个用不变子空间来描述的充要条件。

A： 举出不是特征子空间的不变子空间的例子（循环子空间），举出利用多项式来构造不变子空间的例子，举出不能相似于准对角阵的例子。于是提出以下的问题：

P： 给定数域F上的一个矩阵，如何判断它是否相似于一个上三角阵？从而进入下一个PIPA过程。

按照这样的教学过程，最后进行到对任意两个矩阵的相似问题的讨论，并利用λ-矩阵理论得到相似的充要条件，从而得到有理标准型和Jordan标准型的相关结论。这样的教学过程体现了从特殊到一般的抽象思维过程，可以帮助学生在掌握一般理论的同时，对具体应用问题也能达到熟练的程度。

参考文献：

[1] J. M. Day， D. Kalman. Teaching Linear Algebra： What are the Questions？[EB/OL].Available at： http：//www1.american.edu/ academic.depts/cas/mathstat/People/kalman/pdffiles/questions.pdf.

[2] F. Uhlig. The Role of Proof in Comprehending and Teaching Elementary Linear Algebra[J]. Educational Studies in Mathematics，2002，50（3）： 335-346.

[3] J.L. Dorier et al. On a research programme concerning the teaching and learning of linear algebra in the first-year of a French science University[J]. INT. J. MATH. EDUC. SCI. TECHNOL，2000，31（1）： 27-35.

[4] F. Uhlig. A New Unified， Balanced， and Conceptual Approach to Teaching Linear Algebra. Linear Algebra and its Applications[J]， 2003，361（1）： 147-159.

[5] J.M. Day， D. Kalman. Teaching Linear Algebra： Issues and Resources[J]. THE COLLEGE MATHEMATICS JOURNAL， 2001，32（3）： 162-168.

[6] E. Possani et al. Use of models in the teaching of linear algebra[J]. Linear Algebra Appl，2010，432（8）： 2125-2140.

[7] J.L. Dorier et al. Teaching and learning linear algebra in first year of French science university[EB/OL]. European Research in Mathematics Education I： Group 1. available at： http：//www.fmd.uni-osnabrueck.de/ebooks.

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