新课标下高考试题的高观点背景动向初探及建议

卢思聪��

摘 要：随着高考数学命题改革的深入，高考命题者都十分重视高中知识与大学课程的衔接。因此，在符合考纲要求和体现新课程理念的前提下，命制了一些以高等数学为背景，以初等数学形式呈现的高考试题，本文探析其背景动向，并探讨科学的命题教学建议。

关键词：高考试题；高观点；命题教学建议

高中新课程改革实施以来，中学数学就增加了不少高等数学的内容，如导数、定积分等，为中学数学注入了新鲜的血液。

一、 知识高观点

1. 狄利克雷函数：定义：D（x）=a，当x为有理数

b，当x为无理数，其中a，b∈R，a≠b

性质：①周期性：任意的非零有理数都是D（x）的周期，但任何无理数都不是。

②单调性：D（x）在实数集的任何区间都不具有单调性；③奇偶性：D（x）是偶函数。

例1 设函数D（x）=1，x为有理数

0，x为无理数，则下列结论错误的是（ ）

A. D（x）的值域为{0，1}

B. D（x）是偶函数

C. D（x）不是周期函数D

D. （x）不是单调函数

探析：本题考查函数的概念和性质，具体就是以上介绍的高等数学中狄利克雷函数的概念和性质，由以上性质易知选C。而本题以一个全新的、公平背景呈现出来，既考查考生对函数概念和性质的理解和判断，又挖掘学生的学习潜质；狄利克雷函数的出现，表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”。

2. 毕达哥拉斯学派—多边形数

毕达哥拉斯学派有一个基本信条——万物皆数，通过集合图形发现其间蕴含的关系。多边形数也称“形数”，就是形与数的结合物。用点排成的图形。

例2 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为n（n+1）2=12n2+12n，记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数表达式：三角形数N（n，3）=12n2+12n。正方形数N（n，4）=n2，五边形数N（n，5）=32n2-12n，六边形数N（n，6）=2n2-n…，可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）= 。

还有诸如“凸性函数”背景、图论知识背景及“斐波那契—卢卡斯数列”背景等。

二、 思想方法高观点

1. 单调有界必收敛

极限是高等数学中的一个重要概念，包括数列极限和函数极限。单调有界的数列（函数）必有极限，它是判断极限存在的重要定理之一。

例3 数列{xn}满足：x1=0，xn+1=-x2n+xn+c（n∈N*）。

（1）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c<0；

（Ⅱ）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列。

探析：本题考查函数与数列的综合运用，充要条件、函数单调性的证明方法，而其命题思路背景却隐含着高等数学中极限的单调有界定理。以下是第（Ⅱ）步的解答：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：c≥0

①当c=0时，xn=0，不合题意；②当c>0时，∵x2=c>x1，且x3=-c2+2c>x2=c，∴000=x1≤xn

∴xn+2-xn+1=-（xn+1-xn）（xn+1+xn-1）。当c≤14时，xn<12xn+xn+1-1<0，∴xn+2-xn+1与xn+1-xn同号，由x2-x1=c>0∴xn+1>xn，即

{xn}为单调递增数列，且limn→ xn=c。当c>14时，N，使xN>12xN+xN+1>1，∴xN+2-xN+1与xN+1-xN异号，与递增数列相矛盾。综上：当0

评注：以上极限的单调有界性，是大学知识与初等数学的结合体。是考查极限思想的新颖题型，体现加强对数学思想本质理解能力的考查。

2. 抽象概念

这类题型常有“老瓶装新酒”的意味，概念新颖，灵活性强，综合程度高，是很多考生的薄弱点。其实本质是对基础知识的考查，转化与化归、代数推理等数学方法的综合运用考查，教学中应对此类题适当训练，研究高考试题，把握考试的动向。

例4 （2017年江苏卷19）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan，对任意正整数n（n>k）总成立，则称数列{an}是“p（k）数列”。

（1）证明：等差数列{an}是“p（3）数列”；（2）若数列{an}既是“p（2）数列”，又是“p（3）数列”，证明：{an}是等差数列。

高考给广大学生送上不少新颖的高观点背景的数学“大餐”，它无形中给中学生介绍了许多课外的数学文化知识，拓展了解题思维，更重要的是激发了广大中学生探索更高层次的数学世界的学习兴趣。

三、 命题教学建议

1. 命题建议：要求立意新，思维价值高，情景新颖，符合新课标下的高中数学学科知识水平要求，高观点背景试题就是这种考查能力广泛的常考题型。合理、灵活调整新颖题型的命制。

值得注意的是，近年来各省市的高考试题多次重复出现命制相似高数知识背景的试题，如凸函数、拉格朗日定理等，虽考查能力要求有所不同，却给广大师生导向于“规律模式”命题的错觉，就出现了部分教师补充高数知识内容的现象，这一方面增加了学生学习的负担，另一方面也有悖于新课标高考试题编制的理念。

2. 教学建议：杜甫的诗句云：“会当凌绝顶，一览众山小。”就事论事地看中学数学，只是知其然，用高等数学的数学方法进行解读，就会觉得豁然开朗，内心充实。强化数学思维过程，注重培养数学解题能力。针對高观点背景试题的特点，教师不要过多讲解高数的定理、公式及性质，应在平时的教学中夯实考纲要求的基础知识，充分重视知识的形成过程，讲究解题的思维过程，弄清数学思想方法在解题中的意义和作用；培养新情景下知识的迁移能力、转化能力及信息的整合能力，并提高思维灵活性和分析、解决数学问题的能力。

对于教师本身，有一句教育格言是：“要给学生一杯水，教师应该有一桶水。”教师应不断充实自身的专业知识，加大交叉知识的研究性学习，研究高考试题，善于用高数的思想、方法去驾驭中学数学的内容，使初等数学中的疑难得到合理解释，进而不断提高教学的质量。

参考文献：

[1]皇甫军.函数的概念和狄利克雷函数[J].中学生数理化·八年级，2007（7-8）：25-26.

[2]黄妮等.高考试题中的高等数学背景探析及应对策略[J].中学数学研究，2009（8）：19-23.

作者简介：卢思聪，福建省漳州市，福建省平和第一中学。