估算在高中数学课堂中的运用

☉江苏省宜兴第一中学 孙梓楠

“估算”虽然在高中数学教学中不为广大教师所重视，但实际上，“估算”在学生的数学学习中所起的作用却是不容小觑的，因此，教师在实际教学中应引导学生加强对估算价值的认识并因此培养学生较强的估算应用意识.

一、高中数学估算的分类

1.近似估算

观察数学问题的本质并采取有效方法对问题中的数据适当扩大或缩小而实施的近似处理即为近似估算.

2.局部估算整体

面对若干元素构成的复杂结果而采取局部研究并将结果进行比较选答的估算方法称作局部估算整体.

3.极限法估算

一些几何类的选择题或填空题往往可以运用极限运算进行尝试.

4.特例估算

对一般性问题进行选取特例、特殊值或验证备选答案等即为特例估算.不过，运用特例估算时应根据题意与备选答案探求各备选答案之间的联系与区别，结合特殊的数值、图形、函数、数列等进行检验并因此获得正确答案.

5.构造模型估算

构造正四面体、正方体、长方体、三角形等模型是解决很多立体几何问题中常用的估算方法；构造二次函数、一次函数模型是解决很多函数问题的估算方法.

6.猜想与直觉估算

在直觉的引领下并结合已知条件进行估算.

7.一般规律估算

一些具体的个体情况可以采取通用的一般规律进行估算和验证.

8.表象估算

根据题意在头脑中建立相应的表象进行估算与验证.

二、高中数学中估算的运用

1.利用教材资源实施估算教学

教材中的很多案例都隐含着一定的估算思想与方法，教师在具体教学中应善于运用这些案例培养学生的估算意识、思想与能力.

案例1：统计中的估算.

抽取样本并估算总体的分布、特征以及事件在某一范围内的发生频率等等都是统计这一范畴内的估算.

例如，某校高三学生在高考前进行了视力检查，随机抽样其中100名学生视力情况制作成以下频率分布直方图（如图1）.学校管理员不慎丢失了其中的一部分数据，不过可以知道的是后5组的频数成等比数列，假设视力在4.6～4.9之间的学生人数是a，最大频率是b，则a、b的值分别是______.

粗看此题总会感觉题中的条件似乎不足，不过，仔细阅读、分析后不难发现：

第一组：频率=0.5×（4.5-4.4）=0.05，频数=0.05×100=5；

第二组：频率=1.1×（4.6-4.5）=0.11，频数=0.11×100=11；

第三组：暂时不知.

因为后5组的频数是人数，因此题中等比数列中的元素都为整数，因此其最小公比是2或3，所以后5组的频数分布有下表中的几种可能：

第四组 第五组 第六组 第七组 第八组1 6 8 4 2 1 3 2 1 6 8 4 2 8 1 2 7 9 3 1 1 6 2 5 4 1 8 6 2

表中最后两行显示的频数和超过100明显太大了.从直方图中也不难估算出第七组与第八组的频数都应该是小于5的，第六组的频数则应该在5～11，第五组的频数则应大于11，但对照表中的数据不难发现，只有32，16，8，4，2是适合的，因此，最大频率b=0.32，第三组：频数是22，因此视力在4.6与4.9之间的学生人数a=70.

估算在此题的解决中无疑起到了巨大的作用，但很多学生在这方面的能力是比较欠缺的.

2.教学中渗透估算思想

教师在实际教学中不断渗透估算思想能够有效帮助学生形成估算的意识，只有这样，学生才能在不断的练习中逐步掌握估算的方法和策略.

图2

3.培养学生估算意识

学生丰富的生活经验能够更好地帮助学生估算生活化的实际问题，因此，教师在平时的教学中应经常鼓励学生留意生活实际问题并从中体验数学价值，在增强学生估算应用意识的同时教会学生理性思考并因此提升估算能力，使学生对实际应用和数学模型之间的联系与差异形成更好的理解与估计.

4.估算中剔除错解

分析：根据上述两种结果可得cosC＞0，∠C为锐角，看似没有任何矛盾.

因此，可求sinC的值如下：

sinC=sin［π -（A+B）］=sin（A+B）=sinAcosB+而这对于三角形的内角C∈（0，π），sinC＞0恒成立是矛盾的.

题中∠B不可能为钝角是何原因呢？怎样帮助学生在解题中能够主动发现并预防解题错误呢？估算角的范围在此处是极有价值的.

三角内容与其它数学模块相比公式更多、应用更广、方法更活且更容易出错，学生在三角函数问题的解决中产生的错误往往集中在两个方面，一个是角的范围，还有一个就是三角函数取值区间的界定，因此，教师在三角函数的实际教学中可以引导学生进行估算来判断解题的可靠性，学生一旦明确估算的意义便更容易在具体解决中联想这一方法的运用并逐步掌握估算的方法，很多三角函数相关问题的解决因为估算的介入而变得更具可靠性与准确性，学生运用估算检验解题思路与过程的同时还能提前防范多余答案或错误答案的产生，解题也会因此变得更加简洁而准确.

由此可见，估算思想、意识与能力的培养在高中数学的学习过程中是具备重要意义的，因此，教师在具体教学中应切实思考如何培养学生的估算意识与能力这一问题，在教学的准备环节有意识地进行估算教学的渗透、设计与思考，从相关数学理论知识、解题方法等各方面对学生进行长期的熏陶与启发，使学生在教师有意识的设计、教学与引导中逐步培养起估算意识并逐步掌握估算的方法.F