定积分计算策略选择思路

吴文前

【摘 要】积分学是高等数学里面一个重要的知识内容，关于积分的计算方法，主要有换元法、分部积分法等常规方法。拿到任何一道积分题，学生应该如何分析？应该如何选择方法？在长期的教学过程中，我总结出以下的三个必要环节：第一步心中先要明确解决积分问题的入门简单方法；第二步是观察结构，善用技巧，简单快捷解决问题；第三步抓题目明显特征，选择常规方法。只有这三个环节依次考虑到了，问题才比较容易解决。但是学生的思维常常是一来就考虑常规解法，所以在教学中要引导学生转换思路，从最容易切入的门槛进入，才能通过最简单的方法快速解决问题。所以在平时的教学中要有意识对学生进行这方面的训练，以便达到清晰思路，解决问题的目的。

【关键词】高等数学；定积分；图像法；换元法；分部积分法

【中图分类号】G633 【文献标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）10-0008-02

关于定积分的计算，书上的常规方法是：换元法，分部积分法[1]。但是在实际计算中我们可以走这样一条路径来选择解决定积分问题的方法，目的就是找到最简单快捷的解决方法：

第一步：看可不可以利用图像法来解决问题：也就是利用定积分的几何意义——曲边梯形的面积来解决问题。

第二步：看可不可以利用上“偶倍奇零”的化簡公式来解决对称区间上的积分。

第三步：看可不可以利用“瓦里斯公式”来快速简便解决区间上三角函数的定积分。

第四步：在前面三步都无法使用的情况下，再来考虑使用换元法或者分部积分法。

下面举例说明上述四个程序走向在解题过程中的实际应用。

例1：计算：

分析：此题目明显符合采用三角换元的特征，当然令x=asint完全可以解决此题。但是如果我们考虑到被积函数的图像特征，而采用定积分的几何意义来做，就非常简单了[2]。

解：被积函数是以原点为圆心，半径为a的四分之一圆，图像在第一象限。

∴

例2：计算：

分析：此题目的被积函数明显不好找原函数，属于不太好积分的一类，因此我们考虑能否利用“偶倍奇零”的化简公式。

解：原式=+3

=0+3= =

例3：计算：

分析：此题目的被积函数明显不好找原函数，属于不太好积分的一类。但是题目特征符合使用三角换元的要求，故而可以先尝试使用换元法，进一步考虑能否利用“瓦里斯公式”来化简。

解：

例4：计算：

分析：此题目的被积函数是三角函数，但是积分区间却不符合使用“瓦里斯公式”的要求。因此先尝试使用换元法因为“换元必换限”，通过先换元看可不可以进一步使用上“瓦里斯公式”公式。

解：

例5：计算：

分析：此题目前面三步都无法使用，而被积函数又符合分部积分的特征：两种不同函数的乘积，因此考虑使用分部积分法积分。

解：∵1+cos2x=2cos2x，再利用反对幂指三，来确定 u和ν'

综上，选择方法决定着求解问题的难易程度，教学中要多引导学生实践，练习。

【参考文献】

[1]同济大学数学教研室主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2]韩天勇，施达，杨洪主编.高等数学（上册）[M].北京：科学出版社，2010.