分类讨论思想在初中数学解题中的应用

广东省广州市增城区石滩中学(511330) 陈明双

思想是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果,它是从大量的思维活动中获得的产物.同样地,数学思想是使从教学内容中提炼出来的数学知识的精华,是将知识转化为能力的桥梁.

将事物进行分类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一,具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性.通过正确的分类,可以使复杂的问题得到清晰、完整、严谨的解答.下面就分类讨论思想在初中数学解题中的应用案例进行一些总结.

一、条件型

在解决某种数学问题时,问题所呈现的条件是分类给出的,所涉及的概念是分类定义的.例如,绝对值的定义是：运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的.例如：对数函数y=ax2+bx+c的开口方向是分a＞0和a＜0两种情况给出的.因此,在解决这类问题时,必然要引起讨论.

例1已知|x|=3,(y+1)2=16,求x+y的值.

分析本题考查的学生对绝对值的定义掌握程度的考查,由于绝对值的定义是分类给出的,因此,x有两个值.一元二次方程(y+1)2=16,有两个不相等的实数根,因此,y有两个值.所以求x+y的值就要分情况进行讨论.

解因为|x|=3,所以x=±3.因为(y+1)2=16所以y=3或y=-5当x=3,y=3时,x+y=6.当x=3,y=-5时,x+y=-2.当x=-3,y=3时,x+y=0.当x=-3,y=-5时,x+y=-8.综上所述,x+y的值为6,-2,0,-8.

说明因此,在解决此类数学题时,一定要对它的定义比较熟悉,这样,在解题的过程中才不会遗漏某种情况.

例2函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )

分析本题主要考查了反比例函数的图象和二次函数的图象的相关知识,正确解决该题的关键是根据a的符号确定它的图象的位置,分a＞0和a＜0两种情况分类讨论就可以确定正确的答案.

解当a＞0时,函数的图象位于第一、三象限,y=-ax2+a的开口向下,与y轴相交于正半轴,没有符合的选项.当a＜0时,函数的图象位于第二、四象限,y=-ax2+a的开口向上,与y轴相交于负半轴,D选项符合.故选D．

说明反比例函数的图象所处的位置是由比例系数确定的,二次函数的开口方向是由二次项系数确定的,对称轴以及与y轴的交点坐标是由一次项系数和常数项决定的.因此,这类型的数学问题在给出定义时,本身已经需要分类讨论,解决这种类型的数学问题时,我们要牢记分类的初衷.

二、含参型

参数和变量广泛地在数学各类问题中出现,含参问题也是比较复杂的问题,是近几年中、高考重点考查的热点问题之一.

以问题的条件和结构为标准,含参数问题一般可分为两种类型.一种是根据参数在规定的取值范围内取不同的值,去探求命题可能出现的结果.另一种是先给出命题的结论去探求参数的取值范围.在含参数或变量的数学问题中,分类讨论思想的思想方法是解决这种问题的最佳方法.利用分类讨论思想的思想方法解决数学题目,要做到分类不重不漏,条理清晰,思维严密.例如,m为实数,比较2m和3m的大小关系.比较2m和3m的大小,首先要参数对m的符号进行分类讨论.

例3已知关于x的方程(m-1)x2+2mx+m-7=0,判断该方程的跟得情况,在有实数根的情况下,求出根的个数与m的值的关系.

分析本题是一道比较典型的分类讨论数学题,其中含有参数m,它的取值会对该方程的求解造成影响,学生在解决该问题时,对取值要有明确的分类.

解当m-1=0,即m=1时,方程(m-1)x2+2mx+m-7=0为一元一次方程,所以2x-6=0,所以x=3.当m-1/=0,即m/=1时,方程(m-1)x2+2mx+m-7=0为一元二次方程,[1]Δ＞0时,即解得,所以.[2]Δ=0时,时,所以.[3]Δ＜0时,时,方程没有实数根.

说明本题是含参数的题目,题目的解是因参数m的取值改变而改变.因此,要解决本题,主要是准确地找出题目中参数m的分类情况,再根据跟得判别式的值分三种情况考虑,找到解题的突破口,从而找到分类的标准.

三、不确定因素型

在解决某些几何题的时候,题目没有给出图形,由于图形的位置关系不确定,从而引起讨论.对于此类题目,我们要根据题设条件,根据图形的某一性质,对各种情形进行分类讨论,把有可能出现的图形都作出来,从而找到解题的突破口.

图1

例4如图1所示,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别相交于两点,点C为线段AB上任意一动点,过点C作CD⊥x轴于点D.

(1)求直线AB的解析式;

(2)若梯形OBCD的面积为,求点C的坐标;

(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△AOB相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

分析本题目由于P点的位置不确定,出现多种情况,因此必须对其进行分类讨论.而且其分类情况比较复杂,有不同层次上的分类.

解(1)易求AB得的解析式为：

(2)利用梯形面积列方程容易求得C点坐标为,如图1所示.

(3)由于△AOB为直角三角形,且∠BAO=30°,所以.要使△POB与△AOB相似,需考虑△POB的各个角的取值情况：

[1]当∠OBP=90°时,则点P在过B点且垂直于y轴的直线上.如图2,又可以分两种情形：若△BOP1～△OBA,则∠BP1O=∠OAB=30°,BP1=3,所以;若,则∠P2OB=∠BAO=30°,BP2=1,所以

[2]当∠OPB=90°时,如图3,有两种情形：若△OP3B～△AOB,则点P3在直线AB上,可求得P3的坐标为;若△BPO～△AOB,则点P在△OBA44内部,可求得P4的坐标为

[3]当∠BOP=90°时,点P在x轴上,不符合题意.

图2

图3

例5已知⊙O的半径为5,弦AB//CD,求AB与CD间的距离.

分析解决这个问题时,大部分学生只能画出一种情况：AB和CD两条平行线在圆心O的两侧,这种情况我们可以给它命一个有助于学生理解题目的的名字“远距离”,这样一来学生以此类推可以想到“近距离”这种情况,AB和CD两条平行线在圆心的同侧.

图4

图5

解[1]当AB和CD在O的同侧时,如图4,过点O作OE⊥AB于E,交CD于F,连接OA,OC,因为AB//CD,所以OF⊥CD,所以.在 Rt△OAE中,由勾股定理得,同理,OF=3,所以EF=4-3=1.[2]当AB和CD在O的两侧时,如图5,过点O作OE⊥AB于E,延长EO交CD于F,连接OA,OC,因为AB//CD,所以OF⊥CD,所以在Rt△OAE中,由勾股定理得,同理,OF=3,所以EF=4+3=7.综上所述,AB与CD间的距离为1或7.

说明图形的位置关系不确定,导致解题时必须分类讨论.在第一层分类同时又由于参数之间的大小关系不确定导致第二层分类的发生.因此,运用分类讨论思想解决数学问题,能更好的培训学生的数学思维,提高学生答题的严谨度.

运用分类讨论的思想方法解决数学题目,必须从整体上把握题目,分清题目的类型,注意题目中隐含分类的条件,确定分类的标准.因此,要熟练正确的运用分类讨论的思想方法解决数学题目,不仅需要掌握大量的数学知识点,还需要长期地、严谨地做题训练,总结和归纳.

总之,分类讨论的思想方法是数学解题的重要思想方法,分类覆盖的知识点较多,具有一定的分类思想和技巧,有利于对学生数学能力的考查.其次,分类讨论思想具有训练人的思维条理性和概括性的功能,能培养学生规范、合理、严谨的学习品质.因此,在数学教学中,必须逐步培养学生分类讨论思想去解决数学题.从而提高他们的分析数学问题和解决数学问题的能力.