从2017年高考全国（I）卷第17题谈解三角形的复习

蔡双湖

摘要：本文以2017年高考全国（1）卷第17题为切入点简要分析了解三角形的复习。希望能给我们的数学教学带来些许启示。

关键词：数学教学；高考真题；解三角形的复习

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）01-0119

一、知识储备

1. 正弦定理及其变式 = = ，a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC；

2. 余弦定理及其变式

a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC；

3. 内角和定理A+B+C=π，sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC；

4. 大角对大边定理A>B a>b；

5. 三角形面积公式S△= absinC= bcsinA= acsinB；

6. 三角恒等变换

7. 特殊三角形（直角、等腰、等边三角形）的性质。

二、高考真题分析

第17题.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，=3，求△ABC的周长。

1. 重视基础，精通知识点

高考是考核学生的双基是否扎实，是否理解数学思想方法的真谛。解三角形的重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，结合内角和定理实现内角之间的转换，化简需要三角恒等變换，注意几个定理的正用、逆用和变用。难点：分析已知条件， 确定边角转换，从而找到解题的入口。

思路1：（1）由面积S= bcsinA= 得

sinBsinCsinA= 即sinBsinC=

思路2：（1）由面积S= bcsinA= 得bc=

∴sinBsinC= · = =

2. 重视公式的推导

公式的推导过程含有丰富的数学思想方法，能体会出一些数学文化，在复习中可以引导学生再现这些公式的探索发现过程，不断在数学思想方法指导下，找出公式与公式之间的联系，让学生经过再创造性思维活动，从而使学生建立知识的网络图。

思路3：（1）由于a边上的高h=bsinC=csinB

∴S= ah= bcsinC=

∴bsinC= =

∴sinBsinC=

思路4：∵ = ∴ =

∴S= acsinB=

∴sinBsinC=

3. 重视回归课本，分析题源

高考的命题源于课本，高于课本，回归课本的目的就是要寻出题目的“源”。课本教材和考试大纲可以说是限制高考的“法”。课本才是总题库，每一道高考题都可以从课本中找到源头。从这几年来的高考试题，越来越呈现出回归教材的趋势。在各年高考试题中不少让学生感到生疏的题目，都是在课本上原题的基础上变身。对能力的考查离不开课本知识。高考无论考查什么题，其知识点都是在课本内，如果“吃透教材”，遇到高考题，只须对课本知识点进行思维再加工就可以应对自如了。

课本人教版必修5中第20页B组第一题：

求证S△ABC= · （证略）

思路5：由S= · =

∴sinBsinC=

4. 注重知识的交汇

从2012年到2017年的高考解答题第17题主要是以数列或解三角形问题为主，考查有关正余弦定理和三角函数等有关知识。主要有下列重要题型：正余弦定理与三角恒等变换结合；正余弦定理与方程思想结合（需设未知数建立等式）；正余弦定理与函数思想结合（需建立函数关系式）。

第（2）题分析提高：根据所给等式的结构特点利用三角恒等变化进行变形，迅速解出角A是本题的关键；熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的应用。

第（2）题由题设及（1）得cosBcosC-sinBsinC=- ，即cos（B+C）=- .

所以B+C= ，故A= .由题设得 bcsinA= ，即bc=8.

由余弦定理得b2+c2-bc=9，即（b+c）-3bc=9，得b+c= .

所以周长为3+ 。

5. 注重培养学生的运算能力

在全国卷中，要求学生要有较高的运算能力，即要求准确、合理、简捷、快速完成解答。在复习过程要让学生掌握运算的通法，灵活运用概念、性质、公式和法则进行运算。教师可以结合教材内容，编制和收集一些灵活性较大的练习题，培养学生运算的灵活性，并引导学生收集、归纳、积累经验，形成熟练技巧，以提高运算的简便性和快速性。

对第（2）题而言，学生还会出现这样的解法：

处理1：得cosBcosC-sinBsinC=- 即cos（B+C）=- .所以B+C= ，故A= .由题设得 bcsinA= ，即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9。

由bc=8b2+c2=17解方程组b= c= 所以a+b+c=3

处理2：由sinBsinC= ，cosBcosC= 联立sin2B+cos2B=1，sin2C+cos2C=1

sin2C= cos2C= ；sin2B= cos2B=

= = ，再结合bc=8可解b，c下略.

处理3：由cosBcosC= · =

得81-（c2-b2）2=6bc又bc=8可解b，c。

以上三种处理方法思路虽也自然，但运算量大，稍有不慎就会解不出正确的结果。

三、小结提高

熟悉各知识点是解决三角形问题的根本，而能适当选择公式并快速运算是得分的关键。走进高考题，通过解题、分析、归纳，你就能站得更高，看得更远。让学生再现高考真题，可以让学生体会高考的考察难度，积累解题经验，促进知识间的融汇贯通，从而做到知己知彼，决胜高考。

（作者单位：福建省泉州安溪八中 362000）