基于最大特征向量的改进TOPS算法*

（西安邮电大学通信与信息工程学院，西安710121）

1 引言

随着雷达、声纳技术的发展，信号测向受到广大科技人员的极大关注[1-3]。相比于窄带信号，宽带信号含有更多的有用信息，因此有关宽带信号的检测是信号测向的一个主流[4]。

最常用且比较经典的DOA估计算法是基于子空间分解的MUSIC法及ESPRIT算法[5]，由于ESPRIT算法特别依赖于实际阵列的各项参数，而MUSIC算法对少量参数的误差不灵敏，因此MUSIC算法的工程应用前景更好。MUSIC算法基于阵列协方差矩阵（Array Covariance Matrix,ACM）特征分解(Eigen Decomposition,ED)理论，通过对接收的阵列数据矢量分解为两个相互正交的子空间，分别为信号子空间(Signal Subspace)和噪声子空间(Noise Subspace)，利用它们之间的正交性可构造空间角度谱，通过一维或二维角度遍历即可获得信号的空间角。由于宽带信号携带的信息比窄带信号更多，因此对于宽带信号的研究更能引起学者的兴趣。最早的宽带DOA估计算法属于非相干信号子空间法（Incoherent Signal Subspace Method,ISSM）[6]。ISSM 算法和窄带MUSIC方法在性质上类似，但是ISSM算法对信噪比（signal to noise ratio,SNR）有一定的要求，低SNR的条件下，ISSM算法的角度估计性能就会急剧恶化。相干信号子空间法（Coherent Signal Subspace Method,CSSM）则是一种聚焦类的宽带DOA估计算法[7]，该算法通过累加的效果可以比拟空间平滑的作用，所以CSSM可以处理相干源。文献[8]提出的投影子空间正交性测试法（Test of Orthogonality of Projected Subspace,TOPS），是一种无需聚焦的算法。从实质上来说，TOPS和ISSM算法是一样的，它对宽带相干源的DOA估计也是失效的，其DOA估计性能介于ISSM与CSSM之间。由于TOPS算法不需要聚焦，在中等SNR下性能较好，且比较稳健，因此受到了许多学者的广泛关注。TOPS算法的缺点是微弱信号环境下算法的误差较大，且需要选择一个频点作为参照点，参考点选取不当会引来额外的估计误差，有时会出现虚报谱峰的现象。故此提出一种改进的TOPS算法。

改进算法是先利用约化协方差矩阵(Reduced Covariance Matrix,RCM)法消除噪声[9]，通过对各频点去噪后的阵列协方差矩阵进行特征分解，选择最大特征值对应的向量矩阵作为估计的信号子空间，无需信源数目的先验信息就可实现宽带信号的DOA估计。

2 阵列及信号模型

阵列是M个阵元的均匀线列阵（Uniform Linear Array,ULA），阵元间距为d，P个宽带信号从远场入射，入射角度分别为 θ1,θ2,...,θP，阵列的输出为

对X(t)进行离散傅里叶变换，写成矩阵形式为

其中

对X(fj)进行协方差运算，则频率fj处的ACM为

其中

3 TOPS算法

TOPS算法不需要进行角度预估，算法的精确度也介于ISSM与CSSM之间，填补了这两种算法之间的空白。该算法的主要思想为将噪声子空间投影到参考频点的信号子空间上，用这些投影构造一个新的矩阵，然后用这个新的构造矩阵进行角度搜索，矩阵缺秩时搜索的角度就是DOA估计值。TOPS算法利用了带宽范围内所有频点的信息。

为更好阐述TOPS法，有必要先介绍两个定理。

定理 1：对于 ULA，在方向矢量 a(fP,θP)和 M×M维对角变换矩阵Φ(fq，θq)给定的情况下，将两者相乘可得到一个新的方向矢量

定理2：令Δfj=fj-fP，则下面两个值域空间是等价的，即

其中，φ是假设的方位角，表示新的方位角矢量。

通过Φ(fj,θj)可以把对应于某个频率和空间某个角度处的a(fi,θi)转换为另一个频率和另一角度处的 a(fk,θk)。当 θi=θj时，则 θk=θi，此时有

当φ为空间真实角度时，矩阵D(φ)会出现缺秩现象。判断D(φ)的缺秩情况，通过一维角度遍历搜索即可估计出宽带信号的空间角。

4 改进的TOPS算法

TOPS算法的好坏与选定的参考点处的信号子空间F0密切相关，不恰当的参考点会造成算法性能急剧恶化，有时会带来伪峰现象。

为消除噪声的影响，利用RCM法去噪：

其中，D{Rx(fj)}表示返回Rx(fj)的对角矩阵，通过矩阵对消，噪声协方差矩阵被消除了，且对进行特征分解

TOPS算法中的Ui指的是所有的信号特征向量，现实中由于信源数目事先未知，准确获得全部信号特征向量很难实现。进一步探索得知，最大特征值对应的特征向量属于信号子空间，且其携带了大部分信号子空间的信息，尤其是在微弱信号的环境下。因此考虑只利用最大特征值对应的噪声特征向量作为估计的信号子空间，这就是改进算法(ITOPS)的思想，即ITOPS只利用最大特征信号特征向量来取代真实的信号子空间，这样无需预先估计宽带信源的数目就可以实现宽带源的角度估计。

5 仿真结果及分析

仿真采用8阵元的ULA，令2个不相关的宽带信号入射到ULA上，2个宽带信号的空间角度分别是-12°、-18°。ULA的附加噪声是零均值的空间平稳噪声。将宽带信号在带宽内分为21个窄子带,每个子带的快拍数均为128，两个宽带信号与噪声的功率相同，均为10dB。为客观起见，在相同条件下对TOPS、ITOPS算法进行仿真比较。仿真对比结果如图1、图2所示。

图1 TOPS算法的角度谱

图2 ITOPS算法的角度谱

图1的仿真结果表明，TOPS算法可实现对宽带信号的DOA估计，谱峰也较为尖锐。但TOPS算法对选定的参考频点敏感，当频点选择不太合适时，该频点的误差会扩散到其它频点处，累加的误差就比较大，因此会出现伪峰现象；图2的仿真结果表明，ITOPS算法首先通过RCM法消除平稳噪声对角度估计的影响，利用最大特征向量来构成信号子空间，绕开了信源数目的预估问题。结果表明，ITOPS也可以对宽带信号进行准确的角度估计，谱峰也比较尖锐，且由于消除了噪声的影响，几乎没有伪峰。

6 结束语

针对TOPS算法需要信源先验数目的问题，提出了一种改进算法，首先利用RCM法消除了噪声对方位估计的影响，其次对各频点的阵列协方差矩阵进行特征分解，选择最大特征值对应的向量矩阵作为估计的信号子空间，从而无需信源数目的先验信息就可实现宽带信号的DOA估计。改进算法同时也克服了TOPS算法只适合中等信噪比的缺点，算法稳健性高，通用性好，具有良好的工程应用前景。