非严格递增作业速度的斗链装配线自平衡特性
2018-09-08刘俨后左敦稳李学伟
刘俨后，麻 娟，左敦稳，李学伟,3
(1.山东理工大学 机械工程学院，山东 淄博 255000；2.南京航空航天大学 机电学院，江苏 南京 210016； 3.西安瑞特快速制造工程研究有限公司，陕西 西安 710000)
1 问题的提出
Bucket Brigades是一种采用walking-worker的生产组织形式，中文文献一般称之为斗链，其基本规则为：
规则1工人按固定顺序排列且不允许超越，工人与工件同步移动的同时完成作业，直到下游工人接手其工件(或到达末端)。
规则2完成作业的工人返回上游工人处接手工件(或从始端领取任务)。
斗链的示意图如图1所示，其中wj(j=1,2,…,n)表示在线工人，xj表示工人wj的位置。斗链最早由Bartholdi和Eisenstein开始研究，其研究基于以下约束：①工人为异质员工，按照作业速度由慢到快递增排列；②由于工件交接和回取耗时比作业时间小得多，回取速度和交接时间忽略不计；③作业均匀连续分布在生产线上，交接可在任意位置进行[1]。基于上述约束，Bartholdi等[1]建立了一个标准斗链(Normative Bucket Brigades, NBB)模型，并证明NBB具有自平衡性。
在NBB的基础上，国内外诸多学者对斗链展开了研究。Bartholdi等[2-3]分析了随机斗链的自平衡特性和生产效率，并针对分支装配线设计了一种作业共享机制；Bratcu等[4-5]结合实际案例，采用混合动态系统理论分析斗链的平衡性，并基于MATLAB进行建模与仿真；Armbruster等[6-7]针对工人差异，建立改进模型以提高生产效率，并研究了工人学习能力对斗链性能的影响；Song等[8]通过优化工人指派进行斗链的自平衡研究；Lim[9]和Quader等[10]对双向作业斗链进行研究，保证工人在回走阶段也能有效作业；Manzini等[11]和Hong等[12]将斗链应用于物流配送仓储的拣货系统；Chen等[13]在斗链中引入工人超越机制，以提高生产效率。目前国内的相关研究较少，徐翔斌等[14]对斗链进行研究综述及应用前景展望；彭勇等[15]研究了回取速度与工件交接位置的关系，证明回取速度越小，交接位置偏离越大；廖世龙等[16]提出一种带有超越站的超越机制，以提高产能；刘俨后等[17]根据工位约束条件的不同，对斗链的平衡点特性进行了对比研究。
上述研究多针对约束②或考虑超越机制进行研究，文献[17]针对约束③进行了研究，目前尚未有针对约束①的相关文献。在真实车间环境中，很难对个体作业速度进行衡量和评价，作业速度或作业时间一般通过车间数据统计给出，约束①很难严格满足。因此在实际生产中，管理决策更多的是针对作业速度相同的同质员工进行。为此，在释放NBB的约束条件①的基础上，本文对非严格递增作业速度的斗链装配线(Bucket Brigades Assembly Line, BBAL)进行建模与仿真研究，并进一步提出同质员工BBAL的有效运行规则。
2 问题描述
有n个工人{wj|j=1,2,…,n}的BBAL如图1所示。若定义一个基准作业速度v0，则wj的作业速度可记为vj=λjv0(j=1,2,…,n)，其中λj≥1为作业速度系数，NBB满足约束①，即λ1<λ2<…<λn。若作业速度系数满足λ1≤λ2≤…≤λn，且至少存在一个“=”，则称作业速度非严格递增排列，本文根据约束①的满足程度，将BBAL分为标准斗链装配线(Normative Bucket Brigades Assembly Line, NBBAL)和非严格递增斗链装配线(Non-Strictly increasing Bucket Brigades Assembly Line, NSBBAL)两类，其中NSBBAL又分为NSBBAL-E和NSBBAL-C，具体定义如表1所示。
在约束②和约束③下，所有工人在同一时刻完成任务交接，若定义装配线长度为单位长度1(无量纲)，可用工人位置xj(0≤x1<… 定理1对于自平衡的生产线，均存在一个平衡点X*=f(X*)，即存在位置状态向量X*，如果每名工人从X*给定的对应位置开始作业，则其总是在该位置接手下一个任务。 定理2若工人按作业速度沿生产线严格递增排列(作业速度越低的工人在排列中越靠近生产线始端)，则平衡点是唯一的，该平衡点 (1) 上述定理描述了斗链的自平衡性，即存在一个平衡点X*，工人从任意状态X0给出的位置开始工作，最终均能收敛至平衡点X*。在文献[17]中，NBBAL已被证明具有自平衡性，其证明过程如下： (2) (3) 根据式(3)，NBBAL的状态转移过程是一个Markov链，可表示为 Xr=T×Xr-1+λ。 (4) Xn=(0,v1tn,v1tn-1+v2tn,v1tn-2+v2tn-1 +v3tn,…,v1t2+v2t3+…+vn-1tn)T。 (5) 若记v1/vn=a0，(vj-vj-1)/vn=aj-1(j=1,2,…,n-1)，则 (6) 在迭代次数r≥n时， (7) 因为λ1<λ2<…<λn，即v1 ∑aj=1,0 (8) 在NSBBAL中，式(4)所示的Markov链模型仍然成立，即方程X=T×X+λ存在唯一解X*=(E-T)-1×λ，系统具有唯一的平衡点。首先分析“<”个数为0，即NSBBAL-E(λ1=λ2=…=λn)的情况，此时式(7)中系数a0=1，a1=a2=…=an-1=0，可得 (9) (10) (11) ∀j∈[1,n]。 (12) 式(12)表明状态向量Xn=X0，即经过n次迭代后，系统回到初始状态，系统的可达状态是一个有限集合{X0(Xn),X1,…,Xn-1}，系统在可达状态集内循环迭代(X0→X1→…→X0→X1→…),即NSBBAL-E不具有从任意状态收敛的能力。即使令X0=X*，系统也仅是理论上处于平衡状态(X*→X*→…)，由于实际生产环境存在干扰，系统从平衡位置偏离后，不能重新收敛到平衡。 在更一般的情况下，不妨设λ1≤λ2≤…≤λn中存在q(0 (13) 记d1，d2-d1，d3-d2，…，n-dq的最大公约数为d(工人按作业速度分组，d为每组人数的最大公约数)，另记d1/d=p1，d2/d=p2，…，dq/d=pq，则在迭代次数r≥n时式(7)表示为 … … 因为式(13)中非零系数之间的最小间隔为d，所以上述迭代过程存在d个相互独立的递推数列 … … … d1，d2-d1，d3-d2，…，n-dq的最大公约数为d，也就是按照排列每d个工人速度相等，即λn-(d-1)=λn-(d-2)=…=λn-1=λn，则 (14) 式(14)说明，随着d个独立递推数列的分别收敛，工人wn-(d-1)的任务交接位置收敛至同一点，同理可以证明工人wd+1，w2d+1，…，wn-(d-1)的任务交接位置收敛。若n/d=nd，则按作业速度可将工人分为nd个工人组{dwk|k=1,2,…,nd}，即dw1={w1,w2,…,wd}，dw2={wd+1,wd+2,…,w2d}，…。若将dwk作为一个整体，则所有dwk的任务交接位置均收敛，符合定理1和定理2所述的自平衡性。NSBBAL-C存在以下定理： 定理3在NSBBAL-C中，若以nd个工人组dwk作为个体，且工人组作业速度递增(非严格)排列，则以dwk为个体装配线可以从任意状态收敛至唯一的平衡点，该平衡点 (15) 由定理3可知，若最大公约数d=1，则n=nd，dwk=wk(j=1,2,…,n)，此时NSBBAL-C具有从任意状态收敛的自平衡特性。 本文基于C++Builder 2010进行数值建模与仿真。由于任务交接在xn=1时刻同时进行且瞬时完成，则任务交接位置状态与xn=1时状态一致，以xn=1时的状态X为观察对象，记录迭代过程中w1～wn-1的位置变化。 图2所示为文献[17]对NBBAL的数值仿真结果，从图2数据可看出，NBBAL收敛于唯一的平衡点，平衡点特性符合定理1和定理2。 从图3仿真结果可以看出，在规则1和规则2下，NSBBAL-E不具有从任意状态收敛的能力，系统在可达状态集内循环迭代，仿真结果与前面推导结论相符。 从图4仿真结果可以看出，按作业速度对工人以d分组，以dwk为工人个体，则dwk任务交接位置向平衡点收敛，仿真结果与定理3相符，即从w1开始每隔d个工人存在一个收敛的任务交接位置。 图5所示为最大公约数d=1时的NSBBAL-C仿真结果，此时wk=dwk，NSBBAL-C具有定理1和定理2所述的自平衡性。与图2相比，其收敛速度小于NBBAL。 (16) 在工人沿装配线按作业速度严格递增排列时，λ1<λ2，则可得 (17) 由式(17)可看出，严格递增作业速度(λ1<λ2)的NBBAL中存在一个负反馈控制，在交接位置偏离平衡点时，使偏离差值Δx2向零收敛。速度比(λ2/λ1)越大，负反馈控制作用效果越强，这也解释了图5收敛速度比图2慢的原因。 在实际生产中，考虑同质员工的NSBBAL-E具有更现实的意义。由定理3及式(17)可知，当作业速度系数为λ1<λ2=…=λn(d=1)时，负反馈的控制作用仍然存在。因此，在规则1和规则2的基础上为NSBBAL-E增加如下规则： 规则3对于首名工人w1，若其与w2的距离x2-x1小于1/n，则w1停止作业；若距离大于1/n，则按规则1进行；当任务被接手后，按规则2返回。 规则3限制w1与下游工人的距离，令Δx2强制置零，继而实现下游各Δxj的归零，使系统最终收敛于平衡状态，其作用效果如图6数值仿真结果所示。 从图6可以看出，规则3使NSBBAL-E从任意状态向平衡点收敛。与NBBAL的基本规则相比，规则3仅增加了对w1与下游工人距离的限制，且对于装配线始端的首名工人w1来说，这种距离的限制在实际生产中是容易实现的。 综上所述，NBBAL，NSBBAL-C和NSBBAL-E的自平衡特性如表2所示。 某电子产品由主板模组、上盖模组、液晶显示屏(Liquid Crystal Display, LCD)模组和其他关键零部件组合而成,其中LCD装配线的作业有序关系及标准作业时间如图7所示。该产品生产线全部采用固定工位组织形式，其生产效率及稳定性受市场波动及人员流动的影响较大，因此现在需要基于NSBBAL-E模型对LCD装配线进行斗链生产的示范性规划。目前，LCD装配线由6个工位S={s1,s2,…,s6}组成，作业分配情况及工位作业时间st为：s1(1,2,3,4,5)，st1=23；s2(6,7,8,9)，st2=23；s3(10,11,12)，st3=21；s4(13,14,15,16)，st4=22；s5(17,18)，st5=19；s6(19,20,21)，st6=17。其生产节拍C=max(st)=23。 基于实际生产数据，建立LCD斗链装配线的Witness模型，如图8a所示。根据标准作业工时，将装配线长度定义为125(st1+st2+st3+st4+st5+st6)，并采用6名同质员工作业，以满足原生产节拍要求。LCD斗链装配线的正常运行如图8b所示，其具有从任意状态收敛的自平衡性，此时生产节拍C=125/6≈21，生产效率显著提高；在需要调整生产效率，或由于发生动态干扰，工人数量变化时，它也可以通过自平衡性重新收敛至平衡状态，以保证最大人均效率，如图8c和图8d所示。 本文在NBBAL的基础上，对NSBBAL进行了建模及数值仿真研究，分析了其平衡点特性和向平衡状态收敛的能力，并提出NSBBAL-C的平衡点存在定理，继而给出NSBBAL-E的运行规则，实现了其有效运行，为斗链在实际装配生产中的应用提供了一定的理论基础和研究思路。 本文对BBAL的模型分析和Witness仿真，是基于约束③“作业均匀连续分布，交接可在任意位置进行”，但在实际生产中，有些工序是不宜中断的，如图7中的作业16(撕除导电布背胶，贴于螺丝孔上)。此时若中断作业进行任务交接，则会增加工时；若让下游工人等待，则影响生产效率。因此，BBAL虽然不存在平衡问题，但仍需考虑作业分配顺序问题，以保证交接耗时最小，这将是下一步的研究内容。
3 NSBBAL自平衡性的建模分析及数值仿真
3.1 NSBBAL-E模型
3.2 NSBBAL-C模型
3.3 数值仿真
4 NSBBAL-E的自平衡方法
4.1 自平衡中的负反馈控制
4.2 NSBBAL-E的新规则
5 生产实例的Witness仿真
6 结束语
