细粒土粒径与物理特性关系的分形特征研究

韩 琳

(中煤科工集团西安研究院有限公司，西安 710077)

0 引言

土是一种由不同颗粒组成、拥有不规则形状和自相似结构的复杂多孔介质，具有一定的分形特性[1]。砂性土是一种工程性质多变的土类，属典型的多孔介质。而砂性土的粒径分布特征是最基本的物理性质之一，它影响着土的其他物理力学性能指标，如渗透变形、力学性能等[2～4]。

自Mandelbrot(1973年)提出并推广分形几何学以来，国内外学者用分形理论在生物、工程、经济等众多领域进行了研究，并取得了丰硕的研究成果[5]。随着分形理论的不断完善，分形几何亦被广泛应用于岩土工程领域，如岩石损伤断裂、岩石破碎、地下水渗透、岩石和土粒孔隙度等[6-11]。李哲[12]等研究了粗粒土粒间孔隙的分布分形规律，杨靖[13]等研究了砂砾类土渗流的分形特性。由此可见，利用分形理论，将不同尺度的结构层次划分，并给予定量描述，即可定量判断并分析宏观特性指标。本文正是基于分形理论，研究粉土质砂这一类更细粒的砂性土的粒径分布特征及对其宏观物理特性参数的影响，在定量意义上探讨其工程地质性质的内在规律。

1 土颗粒的分形理论依据

分形维数是对不规则物体进行描述的主要指标，是几何对象粗糙性或复杂性或占据空间大小的一种量度。同时也是判断两个分形是否一致的重要度量之一。

在分形集中，若某一个集合关于测定尺度r具有自相似性，且在该标度下的个数N，按照分形的定义，则有：

(1)

式中，D—分维值。

由于土颗粒的粒度组成是一种没有特征长度的结构图形，其分形是基于一种统计自相似性的粒度分布。土颗粒的大小可以表示为：

(2)

式中，m(

m0—样品的总质量；

r0—是颗粒的平均粒径；

b—常数。

(3)

土的粒度组成的分布特征就演化成幂指数分布，对式(3)微分：

dm∝rb-1dr

(4)

对式(1)求导得：

dN=r-D-1dr

(5)

而土颗粒数量的增加与质量增加有如下关系：

dm∝r3dr

(6)

联立式(4)、式(5)和式(6)，可得：

D=3-b

由此，可根据颗粒分析法得出的颗粒级配曲线，在颗粒粒径与百分含量的双对数坐标图中进行线性回归分析，找出直线段，根据拟合的直线斜率b值，即可求得土的粒度分形维数D[14]。

2 试验过程及分析

2.1 颗粒分析试验及分析

试验选取样品为2016年7月在陕西省靖边县靖边能源化工产业园区进行水文地质勘察所取的原状土样，根据勘查任务书的要求，目的为查明建设场地第四系含水层与隔水层的水文地质条件。该场地地层及样品分布情况见表1。

本文仅对该勘察项目所取的粉土或粉质粘土做详细研究，土样所属地层为中更新统离石组隔水层，取样孔口标高为1 297.871m，所取土样深度自地面38.9 ～81.9 m，土层厚度43.0m，将所取样品划分12组(TY1～TY12)进行分析。样品经现场封装保存运回，首先进行了原状土样物理力学性质测定。然后，将土样风干，从上至下依次放在直径为5、2、1、0.5、0.25、0.1 mm的标准筛上进行筛分，逐级称重。因该场地土颗粒为粉土或粉土质砂，颗粒较细，为得到完整的颗粒分析曲线，还需对小于0.075 mm的土颗粒进行密度计法试验。最后，联合分析密度计法和筛析法，绘制颗粒大小分布曲线(图1)。

表1 取样地层及样品分布

图1 试样颗粒分析曲线Figure 1 Sample grain size analytical curve

同时对测试样品各粒径成分在土中的占比进行数据提取，结果如表2所示。

表2 各试样颗粒粒径占比分布

由颗粒分析曲线和颗粒粒径占比分布表可看出，该场地土样大部分为粉土质砂，在级配曲线上查读出所需的特征粒径值d60，d30，d10，根据《土工试验方法标准》，计算出各组土样的不均匀系数Cu和曲率系数Cc。再以颗粒粒径为横坐标，小于某粒径颗粒质量百分含量为纵坐标，在双对数坐标系中对其进行线性回归，求得土粒度分形维数D，见表3。

表3 各试样土粒度分形维数

根据颗粒粒径及土粒度分形维数D表可看出，所取土样计算的分维数在1.908～2.654，相关系数R2为0.898～0.988，拟合效果较好，这说明颗粒粒径与小于某粒径质量分数之间具较为显著的线性相关。为了反映分维D与不均匀系数Cu的相关关系，对不均匀系数Cu与土粒度分形维数D进行线性拟合(图2)。可以看出，分维D与Cu之间拟合效果较好，呈正的线性相关，相关系数R2为0.834 9。由图2还可看出，颗粒级配越好，大颗粒之间的孔隙被细小颗粒充填，不均匀系数Cu越小，分维D值越小，颗粒级配较好；反之，级配越差。

图2 分维D与不均匀系数Cu相关曲线Figure 2 Correlation curve of fractal dimension D and nonuniformity coefficient Cn

2.2 渗透试验

由于所取土样为细粒土，本次渗透试验采用变水头渗透试验方法。将装有试样的环刀放置饱和器里进行48h充分饱和，再装入渗透容器里，向变水头管注入纯水，使水升值预定高度，待水位稳定后，打开止水夹，使水通过试样，同时测记起始水头高度及起始时间，每组试样重复进行5次渗透试验，计算渗透系数。

细粒土的渗透性主要受颗粒大小、颗粒级配、孔隙度、矿物成分以及饱和度的影响。土中孔隙大小及单位土体中的孔隙体积直接决定了水流通过土体的难易程度，前者表现为颗粒级配及颗粒大小，后者则表现为孔隙度。因此，土的颗粒级配直接影响着土的渗透系数。将渗透试验所测定的各试样渗透系数K与分形维数D进行线性回归分析，见图3。

由图3可以看出，渗透系数K与分维值D之间呈负的线性相关，并且拥有较好的相关性，相关系数R2为0.586 8。土的级配越好，分维值越大，粗颗粒之间的孔隙被细小颗粒填充，水通过孔隙的能力变弱，渗透系数就越小。反之，级配越差，土粒质量分维越小，孔隙度增大，渗透系数也越大。

2.3 界限含水率试验

土的界限含水率试验依据《土工试验方法标准》(GB/T 50123-1999)中的液、塑限联合测定法。取原状土样自然风干后过 0.5mm 的土壤筛，然后分别取 200g 的土样进行浸润过夜后应用液塑限联合测定仪进行试验。在含水率与圆锥下沉深度的关系曲线图中查出液限WL、塑限WP，并计算塑性指数IP。为反映分维D与液限WL、塑限WP，塑性指数IP的相关关系，分别对这三个界限含水率参数与土粒度分形维数D进行线性拟合，结果如图4-图6所示。

图4 分维D与液限WL相关曲线Figure 4 Correlation curve of fractal dimension D and liquid limit Wl

图5 分维D与塑限WP相关曲线Figure 5 Correlation curve of fractal dimension D and plastic limit Wp

图6 分维D与塑性指数IP相关曲线Figure 6 Correlation curve of fractal dimension D and plasticity index Ip

可以看出土体的液、塑限和塑性指数与土体的分维数之间具有良好的相关性，从图可以得到当土体的分维数小于某一数值时，土体的界限含水率是随着土体的分维值的增大而减小，当分维数大于这一数值时，土样各界限含水率指标又随着土体的分维值的增大而递增。

3 结论

针对陕北某化工矿区不同土样进行了土体的颗粒分析试验、界限含水率测定以及渗透试验，并根据土颗粒分形理论计算公式获得土粒度分形维数D，同时分别建立分维值D与颗粒级配参数、界限含水率指标以及渗透系数的相关关系，得到如下结论：

1)土粒度分形维数D与不均匀系数Cu呈正相关关系，与渗透系数则呈负相关关系。说明土的颗粒级配越好，分维值D越大，粗颗粒之间的孔隙被细小颗粒填充，不均匀系数Cu越大，水通过孔隙的能力变弱，渗透系数就越小。反之，级配越差，土的粒度分维值越小，孔隙度增大，渗透系数也越大。

2)土粒度分形维数D与液限、塑限及塑性指数也拥有良好的相关性。当土体的分维数小于某一数值时，土体的界限含水率是随着土体的分维值的增大而减小，当分维数大于这一数值时，土样各界限含水率指标又随着土体的分维值的增大而递增。

3)利用分形理论来研究较细粒土的粒径与其物理特性之间的关系，为定量研究该地区这一类细粒土的工程特性提供较好的研究思路和理论支持。