巧用单位圆妙解三角题

廖海涛

[摘 要]利用单位圆，结合相关的数学知识，化解三角函数相关问题，以达到很好地解决问题的目的.

[关键词]单位圆；三角函数；高中数学

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）14-0036-01

在解决三角函数问题时，如果能够抓住题目的结构特征，充分挖掘隐含条件，寻找条件和结论与单位圆的关系，进行合理的构造，创设单位圆的解题意境，就能为三角函数问题的解决，开辟许多巧解妙证的路径.

一、三角求值问题

【例1】 求值：[sin40°-cos10°cos40°-cos80°]= .

分析：本题中的角均为非特殊角，直接求值存在很大困难，而利用相应的三角函数关系式也比较难入手.而通过诱导公式的变换，并结合单位圆，利用直线的斜率问题来处理，则显得直观有效.

解：[sin40°-cos10°cos40°-cos80°]=[sin40°-sin80°cos40°-cos80°]，其几何意义是点A（cos80[°]，sin80[°]）与点B（cos40[°]，sin40[°]）所在直线AB的斜率，又点A、B在单位圆x2+y2=1上，如图1，取AB的中点C，可知∠COB=[12]（80[°]-40[°]）=20[°]，可得∠ODB=30[°]，则知直线AB的倾斜角α=180[°]-30[°]=150[°]，故原式=tanα=tan150[°]=-[33].

[點评]本题结合三角函数式的几何意义，并通过引入单位圆，数形结合，及利用单位圆上两点间所在直线的斜率，达到求解三角函数值的目的.

二、大小比较问题

【例2】 设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三者的大小关系为 .

分析：题中这些角都不是特殊角，求出值再比较行不通，但如果我们注意到角35°和55°的关联：cos55°=sin35°，就容易利用单位圆上的三角函数线区分比较其各自函数值的大小.

解：由于a=sin33°，b=cos55°=sin35°，c=tan35°.如图2所示作出三角函数线，数形结合可知，c>b>a.

[点评]利用单位圆中的三角函数线，通过数形结合，直观形象地判断相关的大小问题，是解决三角函数值大小比较问题中的常见方法.

三、长度确定问题

【例3】 在平面直角坐标系中，已知两点A（cos130[°]，sin50[°]），B（cos70[°]，cos20[°]），则|AB|的值是 .

分析：本题联想到点A、B是单位圆x2+y2=1上分别位于第二象限和第一象限的点，利用单位圆的知识加以分析即可求解.

解：结合诱导公式可得A（cos130[°]，sin130[°]），B（cos70[°]，sin70[°]），则点A、B是单位圆x2+y2=1上分别位于第二象限和第一象限的点，且∠AOB=130[°]-70[°]=60[°]，△AOB是边长为1的等边三角形，∴|AB|=1.

[点评]巧妙引入单位圆，结合单位圆的性质，可以有效转化两点间的距离问题为三角形的边长问题.结合单位圆中相关图形的几何性质，可以有效转化，达到求解相应的长度问题的目的.要注意数形结合与单位圆的性质应用.

四、不等式证明问题

【例4】 设α∈（0，[π2]），试证明：sinα<α

分析：通过数形结合，利用单位圆上的三角函数线，并结合三角形内角平分线的性质来比较各函数值与角之间的大小，进而证明相应的三角不等式.

证明：如图3，在平面直角坐标系中作单位圆，设角α以x轴正半轴为始边，终边与单位圆交于P点，∵S△OPA

[点评]利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来，这就是三角函数线.利用三角函数线可以证明三角不等式，数形结合，形象直观，有利于沟通三角与代数知识之间的联系.

综上，在解决三角函数问题及其他相关问题时，有时引入单位圆，利用单位圆本身直观、形象、准确、方便等特点，结合相关的数学知识，可以使得三角函数相关问题化难为易、化繁为简，使解题思路清晰、方法明确，达到很好地解决问题的目的.

（责任编辑 黄春香）