高中数学概念教学策略再探究

梁英琼

[摘 要]数学概念是高中数学的重要组成部分，是学生学好数学的前提.研究数学概念教学策略具有实际意义.

[关键词]高中数学；概念教学；策略

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）14-0015-02

新课标指出：数学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程.在数学概念教学中，除了使学生掌握必要的基础知识和基本技能外，还要注重培养学生的思维能力.要实现这一目的，就必须更新观念，变结果教学为过程教学，在数学教学过程中要充分展示思维活动的过程，展现知识的产生和演化过程，使课堂教学成为真正数学活动的教学.

一、 数学概念教学中应重视概念的形成过程

学生正确理解概念是掌握知识的关键，是进行判断、推理的前提.只有概念明确，才能判断准确，才能推理有据；只有深刻理解概念，才能提高学生的解题能力.在课堂上，教师要结合学生已知的认知结构，从学生接触过的具体内容引入，運用实物、模型、图案、录像、动画等向学生提供必要的感性材料，在引导学生观察的同时，启发学生独立思考，使学生在感性认知的基础上上升为理性认知，形成数学概念.这样，在概念的发生和发展过程中，让学生看到思维的过程.通过分析、综合、比较、抽象，学生就可以自己归纳出概念的本质属性，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生的思维能力.

在函数概念的教学中，我们应站在历史发展的角度来看待函数概念的教学.德国数学家莱布尼茨（Leibniz，1646-1716）用[x]（自变量）去对应[y=xn]（因变量）.即通过等式[y=xn]给出了对应关系[x→xn]（这并没有逃脱早期的函数定义）.法国数学家柯西（Cauchy，1789-1857）在总结前人对具体的对应关系的研究的基础上，抓住了对应关系的本质——“对于[x]的每一个值，都有唯一确定的[y]值与之对应”.

初中教材中函数的定义：设在一个变化的过程中有两个变量[x]与[y]，如果对于[x]的每一个值，[y]都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说[y]是[x]的函数，[x]叫作自变量.“[x]的每一个值，[y]都有唯一确定的值与它对应”仍然是一种模糊的表述，它掩盖了[y]的“生成过程.”当我们引入符号“[f（ ）]”来抽象地表达运算“[（ ）2+（ ）+1]”时，对应关系的产生过程就很清晰了.这种符号向我们展示了深层次的函数本质特征.其实，函数就是一种对应，只不过是一种特殊的对应，特殊在：①A、B是非空数集；②数集A中的任意一个数[x]，通过对应关系“[f] ”在集合B中都有唯一确定的数[y]与之对应.

[f（x）]表示的是对应法则“[f（ ）]”在作用[x]；[f（x）]中的[x]应该是在[x]的取值范围A中，只有当[x]在函数的定义域中时，符号[f（x）]才有意义，即[f（x）]的[x]必在定义域中（这是一个十分重要的蕴含关系）.

二、数学概念教学中要重视变式的应用

概念的变式教学，使学生进一步深入透彻地理解概念，辨别概念各要素间的联系，并能运用概念进行解题，也能使学生简缩解题过程，从而提高学生思维的敏捷性.

【例1】 已知△ABC的边长BC的长为8，周长为18，求顶点A的轨迹方程.

变式1：已知椭圆的方程为 [x225+y29=1]，点P为椭圆任意一点，点P到一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为多少？

变式2：已知椭圆的方程为 [x225+y29=1]，[F1，F2]分别为椭圆的两个焦点， CD为过[F1]的弦，且[∠CF1F2=θ，（0<θ<π）]，则[△F2CD]的周长为多少？

变式3：若将“周长为18”改为“[b，a，c]三边成等差数列”，求顶点A的轨迹方程.

变式4：若将“周长为18”改为“[sinB+sinC=2sinA]”，求顶点A的轨迹方程.

变式5：若将已知改为“△ABC的边长BC的长为8，要使点A的轨迹为椭圆可添加什么条件？”

在概念教学中，要从感性认识开始，使学生对概念表象再上升到理性认识，并在“理解”与“使用”的多次反复中深刻理解概念.

三、教材例题教学中要重视分析、探索过程

在教学过程中，教师应注意创设问题情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中体验发现问题、解决问题的思维过程，也能使学生经历数学的发现和创造过程，从而了解知识的来龙去脉.

【例2】 已知[f（x）=3x]，求证：

（1）[f（x）f（y）=f（x+y）]；

（2）[f（x）÷f（y）=f（x-y）]是否有[f（x）f（y）=f（x+y）][?][f（x）÷f（y）=f（x-y）]？

教学中教师可以引导学生思考：是否只有[2x]，[3x]满足关系[f（x）f（y）=f（x+y）]呢？

【例3】 已知定义域为[R]的函数[f（x）]满足[f（x）f（y）=f（x+y）]，且存在[x=c]使[f（c）≠0]，求函数[f（x）].

通过赋值法，我们可以证明[f（nx）=[f（x）]n][?][f1n=[f（1）]1n][?][fmn=[f（1）]mn]，从而得出一般结论.

结论1：当[x]为正有理数时，[f（x）=ax（a>0]且[a≠1）].又由[f（0）=a0=1]，[f（x）=ax]也成立.

结论2：当[x]为负有理数时，[f（x）=ax（a>0]且[a≠1）].

结论3：已知定义域为[R]的连续单调函数[f（x）]满足[f（x）f（y）=f（x+y）]，且存在[x=c]使[f（c）≠0]，则[f（x）=ax（a>0]且[a≠1）]，[x∈R].

我们可以通过此例引导学生完成高中阶段对抽象函数关系的所有讨论.

好的数学教学不能仅仅局限于教学生解题，应该让学生通过解题，明白一些原理，学会从数学的角度思考问题，这是对数学本质的领悟.一节优秀的数学课，犹如一段美妙的旋律，给人一种神奇的、美的体验.高中数学教学应该呈现数学的本质，跳出题海，回归本源，切实提高学生的数学素养，实现“知识与技能，过程、方法与解决问题的能力以及学生的情感、态度与价值观”的和谐发展.

（责任编辑 黄桂坚）