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数学教学:追求“合情”与“演绎”的比翼齐飞

2018-09-04张友国

小学教学研究 2018年6期
关键词:合情推理演绎推理合情

张友国

【摘要】“推理”是学生数学核心素养的重要表征。推理有“合情推理”和“演绎推理”两种,合情推理通常用来发现,演绎推理通常用来论证,引导学生在迁移中类比、在探究中归纳、在建构中演绎。合情推理与演绎推理比翼齐飞,是学生数学学习的重要法门。

【关键词】数学教学 合情推理 演绎推理

史宁中教授认为:“数学的‘核心素养有三:抽象、推理与模型。”推理贯穿着学生数学学习的始终,是学生思维的确证与表征。数学推理的基本模式有两种:一种是合情推理,另一种是演绎推理。《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确指出:“让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。”可见,在数学学习中,学生的合情推理是相互交织在一起的,它们相辅相成,相得益彰。数学教学,追求“合情”与“演绎”的比翼齐飞。

一、先行组织,引导学生在迁移中类比

所谓“合情推理”,是指一种合乎情理、好像为真的推理,所以合情推理又称之为“似真推理”,它能够助推学生的数学发现。理论上说,合情推理包括“类比推理”和“归纳推理”。所谓“类比推理”,是指从特殊到特殊的推理。波利亚指出:“类比是某种类似的相似性……是一种更确定的和更概念性的相似。”运用类比推理,能够将复杂的问题简单化,抽象的问题形象化,陌生的问题熟悉化,进而举一反三、触类旁通。

如教学“比的基本性质”时,笔者首先引导学生复习“商不变的规律”“小数的性质”以及“分数的基本性质”,并引导学生沟通它们之间的联系,学生深度体验到它们内在本质的一致性。不仅如此,笔者引导学生复习“除法算式”“分数”“比”之间的联系与区别,这样,学生的认知被充分地激活。有学生迅速“类比”,认为既然除法中有商不变的规律、分数中有分数的基本性质,那么比中也一定存在着基本性质,并用他们自己的语言对“比的基本性质”展开了表述。学生通过数学知识本质的类比,形成了合情合理的数学猜想。通过多元验证,证实了他们的猜想。

又如:教学“异分母分数相加减”时,笔者首先和学生复习了整数加减法、小数加减法和同分母分数加减法,学生认为只有抓住“牛鼻子”,就能准确计算。具体而言,整数加减法是数位对齐,小数加减法是小数点对齐,同分母分数加减法是分数单位相同。由此,学生自主归纳形成了这样的核心知识:只有“计数单位相同才能直接相加减”。据此,学生展开类比推理,异分母分数相加减的关键是:将不同分母分数转化成同分母的分数,也就是让分数单位从不同走向相同。这种类比,让学生形成了比单纯计算更上位、更抽象、更核心的理性化的数学认知。这种深刻的数学认知将引导学生建构稳定而充满活力的认知结构。

类比推理是或然性推理,因此,学生在类比的过程中有可能发生错误,教学时教师要引导学生洞察新旧知识的相似点,通过各种关系相似,舍弃非本质特征,找寻本质属性。如此,学生已有知识经验就犹如一个“带钩的原子”,适当的时候能方便地提取出来验证。

二、合情猜测,引导学生在探究中归纳

波利亚曾说:“数学既要教证明,又要教猜想。”归纳属于合情推理的一种。所谓“归纳”,是指由部分到整体、由个别到一般的推理。在小学里,常用的是根据已观察到的具有某种属性的部分对象,提出归纳性猜想,接着对尽可能多的对象进行验证。归纳包括“完全归纳”和“不完全归纳”,其中“不完全归纳”和“类比”又叫“似真推理”“全情推理”“或然推理”。换言之,不完全归纳和类比常常看似合情,结论好像是、应该是对的,实际上却可能是错的。因此,对于“不完全归纳”和“类比”,教师在教学中要引导学生积极思考、探寻推理的依据与理由,只有这样,学生的推理才能避免盲目性,而是具有一定的针对性、指向性、科学性。

例如:研究“分数化小数”时,笔者引导学生探索规律、揭示本质。其归纳过程如下:

首先,出示这样的分数:等,要求学生将分数化成小数。学生发现“十分之几就是一位小数、百分之几就是两位小数、千分之几就是三位小数”,进而“不完全归纳”,形成“十进分数化成小数的规律”。

其次出示这样的分数:……要求学生化成小数。学生发现不是十进分数的分数化成小数好像没有规律。有的可以化成有限小数,有的却不能化成有限小数;有些分数能化成循环小数,从第一位开始就循环,有的却不是从第一位开始循环,它们有着怎样的规律呢?笔者引导学生深度研究以下问题:

(1)分数化小数时,会出现哪几种情况?

(2)“除得尽”的分数有着怎样的特征,除不尽的分数有着怎样的特征?(温馨提示:可以从分母观察开去)

学生对已有的分数展开观察、探索,他们发现:分母是4、25、8、40的分数都能化成有限小数。在这个基础上,笔者让学生对分母分解质因数,学生再次展开探索,他们发现,这些分母分解质因数后只有2和5两个,没有其他因数。由此,学生进行“不完全归纳”:如果一个分数的分母只含有2、5两个质因数,这样的小数就能化成有限小数;如果一个分数的分母含有2、5以外的质因数,这样的小数就不能化成有限小数。

再次出示这样的分数:……学生惊讶地发现,他们的前半部分结论得到了验证,但后半部分結论却被推翻了,这是什么原因呢?学生再次对分数、分母等展开观察、探索。他们发现,这些分数有的可以约分,也就是说不是最简分数。于是,学生对原先的猜想进行修改:如果一个最简分数,分母里含有2、5以外的质因数,就不能化成有限小数。对于新的数学猜想,学生再一次举例验证。通过不断地验证,学生归纳出了分数化成小数的规律。

在归纳推理中,教师要引导学生展开猜想,积极发掘合理因素,同时对结论的合理性进行甄别,引导学生不断变换角度进行验证,多角度地审视问题,从简单情形、特殊情形中完善自己的发现。由此,不断揭示知识的合理因素,不断敞亮隐藏着的规律。在这个过程中,提升学生的思维品质,让学生感受合情推理的可能,达成意义学习的目的。

三、严密论证,引导学生在建构中演绎

数学通常被人们看作是一门以严格论证为特征的演绎科学,严格的数学理论总是建立在论证推理的基础上。所谓的“演绎推理”,是指从一般到特殊的推理,“三段论证法”是演绎推理的基本方式。学生从大前提(已知的一般原理,包括定义、定理、公理等)和小前提(研究的特殊情况)出发,做出严密的论证,形成可靠的结论。

如教学“长方体和正方体的特征”时,学生通过观察、操作,形成了长方体有6个面、12条棱、8个顶点,并且每个面都是长方形,相对的面完全相同、相对的棱长度相等……在此基础上,笔者让学生展开动态想象:“至少留下几条棱,你就能还原出长方体呢?”由此形成了长方体的长、宽、高等概念。接着,运用多媒体课件,让长方体的长慢慢变短,逐渐变成了正方体。学生根据研究长方体的面、棱、顶点的经验研究正方体,形成了正方体的特征。这时,引导学生借助知识间的关联进行演绎推理,学生展开了严密的论证。因为正方体具备长方体的一切特征,所以正方体是长方体;因为长方体不一定具备正方体的一切特征,所以长方体不一定是正方体。如此,学生不仅认识了长方体和正方体的特征,而且对于长方体和正方体之间的逻辑关系也有了深刻的把握。

可见,演绎推理能够很好地帮助学生理清数量关系,让学生的数学学习从无序走向有序,从混沌走向敞亮。学生演绎推理的形成和发展不同于一般知识与技能的获得,它是一个隐性的、缓慢的渐进过程。教学中,教师要不断地引领,渗透演绎推理的思想方法,滋养学生的演绎推理能力。

数学推理是从一个或几个已知判断得出一个新判断的思维过程,推理的主要思维形式就是合情推理与演绎推理。合情推理和演绎推理既相互对立又相互统一,在学生的数学学习中常常是相互融合的,合情推理中有着演绎的成分,演绎推理中也有着合情的猜想。合情推理通常用来发现,演绎推理通常用来论证,让合情推理与演绎推理比翼齐飞,是学生数学学习的重要法门。?筻

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