数学教学：追求“合情”与“演绎”的比翼齐飞

张友国

【摘要】“推理”是学生数学核心素养的重要表征。推理有“合情推理”和“演绎推理”两种，合情推理通常用来发现，演绎推理通常用来论证，引导学生在迁移中类比、在探究中归纳、在建构中演绎。合情推理与演绎推理比翼齐飞，是学生数学学习的重要法门。

【关键词】数学教学 合情推理 演绎推理

史宁中教授认为：“数学的‘核心素养有三：抽象、推理与模型。”推理贯穿着学生数学学习的始终，是学生思维的确证与表征。数学推理的基本模式有两种：一种是合情推理，另一种是演绎推理。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。”可见，在数学学习中，学生的合情推理是相互交织在一起的，它们相辅相成，相得益彰。数学教学，追求“合情”与“演绎”的比翼齐飞。

一、先行组织，引导学生在迁移中类比

所谓“合情推理”，是指一种合乎情理、好像为真的推理，所以合情推理又称之为“似真推理”，它能够助推学生的数学发现。理论上说，合情推理包括“类比推理”和“归纳推理”。所谓“类比推理”，是指从特殊到特殊的推理。波利亚指出：“类比是某种类似的相似性……是一种更确定的和更概念性的相似。”运用类比推理，能够将复杂的问题简单化，抽象的问题形象化，陌生的问题熟悉化，进而举一反三、触类旁通。

如教学“比的基本性质”时，笔者首先引导学生复习“商不变的规律”“小数的性质”以及“分数的基本性质”，并引导学生沟通它们之间的联系，学生深度体验到它们内在本质的一致性。不仅如此，笔者引导学生复习“除法算式”“分数”“比”之间的联系与区别，这样，学生的认知被充分地激活。有学生迅速“类比”，认为既然除法中有商不变的规律、分数中有分数的基本性质，那么比中也一定存在着基本性质，并用他们自己的语言对“比的基本性质”展开了表述。学生通过数学知识本质的类比，形成了合情合理的数学猜想。通过多元验证，证实了他们的猜想。

又如：教学“异分母分数相加减”时，笔者首先和学生复习了整数加减法、小数加减法和同分母分数加减法，学生认为只有抓住“牛鼻子”，就能准确计算。具体而言，整数加减法是数位对齐，小数加减法是小数点对齐，同分母分数加减法是分数单位相同。由此，学生自主归纳形成了这样的核心知识：只有“计数单位相同才能直接相加减”。据此，学生展开类比推理，异分母分数相加减的关键是：将不同分母分数转化成同分母的分数，也就是让分数单位从不同走向相同。这种类比，让学生形成了比单纯计算更上位、更抽象、更核心的理性化的数学认知。这种深刻的数学认知将引导学生建构稳定而充满活力的认知结构。

类比推理是或然性推理，因此，学生在类比的过程中有可能发生错误，教学时教师要引导学生洞察新旧知识的相似点，通过各种关系相似，舍弃非本质特征，找寻本质属性。如此，学生已有知识经验就犹如一个“带钩的原子”，适当的时候能方便地提取出来验证。

二、合情猜测，引导学生在探究中归纳

波利亚曾说：“数学既要教证明，又要教猜想。”归纳属于合情推理的一种。所谓“归纳”，是指由部分到整体、由个别到一般的推理。在小学里，常用的是根据已观察到的具有某种属性的部分对象，提出归纳性猜想，接着对尽可能多的对象进行验证。归纳包括“完全归纳”和“不完全归纳”，其中“不完全归纳”和“类比”又叫“似真推理”“全情推理”“或然推理”。换言之，不完全归纳和类比常常看似合情，结论好像是、应该是对的，实际上却可能是错的。因此，对于“不完全归纳”和“类比”，教师在教学中要引导学生积极思考、探寻推理的依据与理由，只有这样，学生的推理才能避免盲目性，而是具有一定的针对性、指向性、科学性。

例如：研究“分数化小数”时，笔者引导学生探索规律、揭示本质。其归纳过程如下：

首先，出示这样的分数：等，要求学生将分数化成小数。学生发现“十分之几就是一位小数、百分之几就是两位小数、千分之几就是三位小数”，进而“不完全归纳”，形成“十进分数化成小数的规律”。

其次出示这样的分数：……要求学生化成小数。学生发现不是十进分数的分数化成小数好像没有规律。有的可以化成有限小数，有的却不能化成有限小数；有些分数能化成循环小数，从第一位开始就循环，有的却不是从第一位开始循环，它们有着怎样的规律呢？笔者引导学生深度研究以下问题：

（1）分数化小数时，会出现哪几种情况？

（2）“除得尽”的分数有着怎样的特征，除不尽的分数有着怎样的特征？（温馨提示：可以从分母观察开去）

学生对已有的分数展开观察、探索，他们发现：分母是4、25、8、40的分数都能化成有限小数。在这个基础上，笔者让学生对分母分解质因数，学生再次展开探索，他们发现，这些分母分解质因数后只有2和5两个，没有其他因数。由此，学生进行“不完全归纳”：如果一个分数的分母只含有2、5两个质因数，这样的小数就能化成有限小数；如果一个分数的分母含有2、5以外的质因数，这样的小数就不能化成有限小数。

再次出示这样的分数：……学生惊讶地发现，他们的前半部分结论得到了验证，但后半部分結论却被推翻了，这是什么原因呢？学生再次对分数、分母等展开观察、探索。他们发现，这些分数有的可以约分，也就是说不是最简分数。于是，学生对原先的猜想进行修改：如果一个最简分数，分母里含有2、5以外的质因数，就不能化成有限小数。对于新的数学猜想，学生再一次举例验证。通过不断地验证，学生归纳出了分数化成小数的规律。

在归纳推理中，教师要引导学生展开猜想，积极发掘合理因素，同时对结论的合理性进行甄别，引导学生不断变换角度进行验证，多角度地审视问题，从简单情形、特殊情形中完善自己的发现。由此，不断揭示知识的合理因素，不断敞亮隐藏着的规律。在这个过程中，提升学生的思维品质，让学生感受合情推理的可能，达成意义学习的目的。

三、严密论证，引导学生在建构中演绎

数学通常被人们看作是一门以严格论证为特征的演绎科学，严格的数学理论总是建立在论证推理的基础上。所谓的“演绎推理”，是指从一般到特殊的推理，“三段论证法”是演绎推理的基本方式。学生从大前提（已知的一般原理，包括定义、定理、公理等）和小前提（研究的特殊情况）出发，做出严密的论证，形成可靠的结论。

如教学“长方体和正方体的特征”时，学生通过观察、操作，形成了长方体有6个面、12条棱、8个顶点，并且每个面都是长方形，相对的面完全相同、相对的棱长度相等……在此基础上，笔者让学生展开动态想象：“至少留下几条棱，你就能还原出长方体呢？”由此形成了长方体的长、宽、高等概念。接着，运用多媒体课件，让长方体的长慢慢变短，逐渐变成了正方体。学生根据研究长方体的面、棱、顶点的经验研究正方体，形成了正方体的特征。这时，引导学生借助知识间的关联进行演绎推理，学生展开了严密的论证。因为正方体具备长方体的一切特征，所以正方体是长方体；因为长方体不一定具备正方体的一切特征，所以长方体不一定是正方体。如此，学生不仅认识了长方体和正方体的特征，而且对于长方体和正方体之间的逻辑关系也有了深刻的把握。

可见，演绎推理能够很好地帮助学生理清数量关系，让学生的数学学习从无序走向有序，从混沌走向敞亮。学生演绎推理的形成和发展不同于一般知识与技能的获得，它是一个隐性的、缓慢的渐进过程。教学中，教师要不断地引领，渗透演绎推理的思想方法，滋养学生的演绎推理能力。

数学推理是从一个或几个已知判断得出一个新判断的思维过程，推理的主要思维形式就是合情推理与演绎推理。合情推理和演绎推理既相互对立又相互统一，在学生的数学学习中常常是相互融合的，合情推理中有着演绎的成分，演绎推理中也有着合情的猜想。合情推理通常用来发现，演绎推理通常用来论证，让合情推理与演绎推理比翼齐飞，是学生数学学习的重要法门。？筻