小学生在数学建模中的角色定位

蔡文平 李海东

在数学建模过程中，学生是主动建模者，他们的角色定位在建模的不同阶段有所不同——在模型准备、建构、应用和拓展时，他们的对应角色分别是发现者、猜测者、验证者、表达者、应用者和拓展者。

一、发现者角色

所谓发现者角色，就是学生在建模准备时根据建模目的，了解问题实际背景，分析实际问题中的相关信息，并根据信息发现问题、初步感知模型的角色。学生发现问题的过程就是他们在观察、思考、交流中发现需要解决实际问题的过程。

在“乘法分配律”教学时，教师先引导学生按男、女分组，根据情境中的信息进行数学热身赛——男生做A组题：9×（37+63），（8+4）×25，（10+2）×14；女生做B组题：10×14+2×14，9×37+9×63，8×25+4×25。学生比赛哪一组算得比较快后，教师引导他们比较两组题目的结果。学生经过观察、比较，发现六道算式的结果两两相等。把得数相同的算式连起来组成的等式分别是：①9×（37+63）=9×37+9×63；②（8+4）×25=8×25+4×25；③（10+2）×14=10×14+2×14。学生在对比中发现的三组等式，能帮助他们顺利完成建模准备，并初步感知数学模型。学生的发现者角色得到有效体现。

二、猜测者角色

所谓猜测者角色，就是学生在建模过程中提出猜想的角色。建模的生活原型往往是质与量、现象与本质、偶然与必然的统一，复杂而具体。学生要根据生活原型建模，就要根据问题特征，在掌握相关信息的基础上，把生活原型中反映实际问题本质属性的形态、数量及相互关系抽象出来，并用准确的数学语言提出合理猜想（假设），这是学生建模的关键一步。

教学时，教师出示情境图（图1）引导学生分析条件，鼓励他们提问。

学生提出的问题有：①四年级领了多少根跳绳？②五年级领了多少根跳绳？③两个年级一共领了多少根跳绳？④四年级比五年级多领了多少根跳绳？解决问题③时，有的学生列式为24×6+24×4，有的学生列式为（6+4）×24。比较结果后，学生写出等式（6+4）×24=24×6+24×4。教师引导学生根据上述等式猜想时，他们发现算式左边都是两个数的和乘一个数，算式右边都是两个数分别乘第三个数后把积相加。学生小组讨论后提出的猜想是：两个数的和乘一个数等于这两个数分别乘第三个数后再把积相加。猜想是学生建模的开始，猜想是在鼓励学生尝试建模。学生因猜想而逼近数学知识本质。

三、验证者角色

所谓验证者角色，就是学生在建模过程中验证猜想的角色。学生的猜想是否有价值，是否合理正确，必须经过验证。从某种意义上说，学生学习的本质就是不断验证猜想的过程。如果只猜想不验证，他们的学习就可能一知半解。猜想经过验证如果被发现是错误的，就要调整或重新猜想，如果正确就可以确定为模型。现阶段学生无法严格证明猜想，只能通过举例验证。

继上一环节学生提出猜想后他们纷纷通过举例：（6+4）×2=6×2+4×2，（12+18）×25=12×25+18×25等进行验证；引导学生尝试举反例说明猜想错误时，他们无法找到符合要求的例子，反而发现正例不胜枚举。在此基础上，教师引导学生小组合作分类验证——用三个数都是一位数、两位数、三位数分别验证，尤其是重点验证算式中有“0”时猜想否成立。这样，学生验证猜想的过程就是他们经历知识形成的过程。学生通过举正例和找反例加深自己对猜想的进一步认识。引导学生把猜想和验证有机结合起来，猜想才有意义。

四、表达者角色

所谓表达者角色，就是学生在建模过程中用文字、算式、图形或表格等进行数学模型表达的角色。学生对数量关系的解释、说明等模型表达过程，是学生思考、判断和合理归纳的过程。模型必须表达正确、简洁，才算得上真正建构成功。

本课教师引导学生尝试用一个等式表示规律的本质特征时，有的用“（我+你）×他=我×他+你×他”表示，有的用“（a+b）×c=a×c+b×c”表示，有的用“（○+□）×◎=○×◎+□×◎”表示，有的用“（m+n）×f=m×f+n×f”表示，有的用“（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙”表示……经过讨论，大家一致同意，用“（a+b）×c=a×c+b×c”表示乘法分配律模型，并发现其本质是c组（a+b）分成c个a加c个b的和，c个a加c个b的和可以配成c组（a+b）。丰富多彩的表达形式经过优化与选择，形成统一的数学模型（a+b）×c=a×c+b×c，简洁、清晰，且符合约定俗成的习惯，能有效促进学生对新知的理解，能帮助他们重构数学知识和思维方法，并使所学数学知识真正具有模型价值。

五、应用者角色

所谓应用者角色，就是学生建模后灵活应用模型的角色。模型應用是数学建模的宗旨，也是对模型最客观、公正的检验。一个有效的数学模型必须回归生活实践进行检验，以便充分发挥数学模型在生活中的特殊作用。

本课在引导学生应用模型时，教师先引导他们根据乘法分配律填运算符号，如（6+8）×3=6□3□8□3；接着引导他们在□里填数，如（12+200）×3=□×3+□×3和66×28+66×32+66×40=（□+□+□）×□；然后引导他们思考×（□+□）=□×+ □×；再引导他们观察下列算式可以分成哪几组：①（4+5）×6，②3×（10+8）， ③（10+6）×4，④5×（6+3），⑤4×6+5×6，⑥3×10+3×8，⑦10×4+6×4，⑧5×6+5×3；最后引导学生解决实际问题：有一个长方形操场，长是140米，宽是60米，这个操场的周长是多少米？学生在正向、逆向应用中能进一步理解和掌握乘法分配律模型。

六、拓展者角色

所谓拓展者角色，就是学生在建模后根据实际情况对模型进行适当拓展的角色。拓展模型是基于已有模型生成的，学生只有熟练掌握已有模型才能形成新的数学模型。对模型适度拓展与重塑有助于学生更进一步掌握数学模型。

学生解决之前提出的问题④时，有的学生列式（6-4）×24，有的学生列式6×24-4×24，他们认为这两个算式相等，即（6-4）×24=6×24-4×24。教师引导学生根据算式联想时，很快有学生根据乘法分配律提出（a-b）×c=a×c-b×c的猜想，并尝试举例验证。随后，学生进一步联想到把两个数的和拓展为3个数的和、4个数的和，甚至更多数的和，尝试验证后，他们也就建构了新的数学模型，即（a+b+d+……）×c=a×c+b×c+d×c+……引导学生适当拓展乘法分配律模型是很有价值的数学思考，不但能帮助他们巩固所学知识，而且能启发他们延伸学习内容，拓宽知识视野，提升探究能力。

（作者单位：江苏省泰兴市襟江小学？摇？摇？摇江苏省泰兴市南沙小学）