浅谈构造辅助圆解决点的问题

雍雅丽

摘 要：对于数学中较全面、有简易解题方法且不易看出知识点的题目，如果可以根据题干中的基本要素，结合到圆的相应理论，合适地画出辅助圆，一般可以变复杂为简单，变困难为基础，发现答题技巧，添加辅助圆的一般过程是：基于“圆的定义”添加辅助圆、通过“圆周角的性质”添加辅助圆、通过圆周角与圆内外角的联系添加辅助圆、基于“弦切角的模型”添加辅助圆、利用“圆幂定理”添加辅助圆、利用“判定四点共圆的理论”添加辅助圆、利用“两圆相切的定义”添加辅助圆、利用“托勒密理论”添加辅助圆。

关键词：数学问题 添加辅助圆 基础题型

中图分类号：G633.6 文獻标识码：A 文章编号：1003-9082（2018）07-0-02

从全国高中数学联赛与国际数学奥林匹克中涉及的相关题型来看，可以了解到，数学问题，作为竞赛中最常涉及的内容之一，在数学竞赛中，其地位是数一数二的。对于一些较全面、有简易解题方法且不易看出知识点的题目而言，解题的人哪怕是在灵活运用所学知识与思维逻辑推算方面有着较强的能力，但是难免也会被此绊住脚步。因此，解题者如果可以通过题干基本框架及特征，从而联系到圆的理论应用，合适地添加辅助圆，通常能够变复杂为简单，变困难为基础，从而发现答题的关键出口。本篇文章的中心就是介绍如何利用添加辅助圆来达到解题目的。

在日常的教授课程中，老师们常会根据圆的性质来添加辅助圆，由此便将原有问题变成了辅助圆与直线的公共点的相应问题。

一、根据“在同一个圆内，若两弧相等，则两弧对的圆周角相等”添加辅助圆

题1 如图所示，平行四边形ABCD中，E在AD，延长CE至F点，使得。

（1）证明：；

（2）用做图工具在直线AD上取一点P，使∠CPB=∠PDC（作法不需写，保留作图印记）

（1） 由题目可知AD//BC，所以。

又，所以可以知道，由此可得。

（2） 因为P在直线AD上，又AD//BC，所以。若要得，就是要使得，从（1）可以知道条件，则只需，也就是和可以视为弧BC对应的圆周角，因此P点为的外接圆和AD所相交的点。

解（1）省略。

（2）分别在边BF与BC上作垂直平分线，设两垂直平分线交于O点。把O点作为圆的中心点，边OB的长度为半径长度，AD边与⊙O交于P点，因此点P即为我们所寻找的点。

二、根据“同一圆内，两弧相同，则两弧所对应的圆周角是其对应的圆的中心角的1/2”来添加辅助圆来找点

题目2：如图2所示，知：AB是一条线段，尝试利用作图工具在下图中寻找符合题意的全部C点，使得∠BCA=30°（使用直尺和圆规，图上要能看到作图过程，不需要写出作法）

尝试思路：首先构造出一个等边三角形，接着把O点作为圆的中心，半径的长度即为OA长度，添加出⊙O，那么与优弧AB所相交的一点即为符合题意需要作出的点（不包括A点和B点）。由对称性可知，我们可在边AB的另一边也能找到符合题意的C点（请根据上述所提供的思路，画出最终图）

自我学习：在如图所示的坐标系中，可以知道两点坐标，，在y轴上有一个动点C，那么若∠ACB=15°，试求C点的坐标是多少？

上述的“尝试思路”本质是在指导同学们怎么利用“同一圆内，两弧相同，则两弧所对应的圆周角是其对应的圆的中心角的?”，从而添加出符合题意中∠BCA=30°的C点，并利用等边三角形的基础上使∠BOA=60°，接着把O当做圆的中心，和OA的长度作为圆的半径添加出弦AB对应的弧，也就是C点处在的那个轨迹，再根据图像的对称性添加出另一边的图（如图二所示）

所以，针对“自我学习”的题目，可学习“尝试思路”里面的一些方法和技巧，首先知道是等腰直角三角形，所以∠BMA=90°，接着把M点当作圆的中心添加出弧AB对应的一条优弧，y轴与这条优弧所相交的点就是符合题意的点，即为点C（如图3所示），由对称性可知，得出另一个点，设为，两点关于y轴对称。

解：尝试思路：省略。

自我学习：如图3所示，由M点作垂线，使得DM⊥AB，交于D点，因此可以很快得出AD=DM=BD=2，

所以点M为（1，2），

且⊙O中的半径，也就是.

再过M点作垂线，交y轴于E点，即EM⊥y轴

所以EM长度为1。

在直角三角形△CEM中，

所以C点坐标为。根据图像的对称性可以知道，C的对应点的坐标是

三、利用直径所对的圆周角是直角添加辅助圆来定点

题3 如下图，AB=AC=AD，，∠BAC=44°，解答等于多少度？

分析：如图，作辅助圆

而∠BAC=44°所以∠CAD=88°

据上文论述，添加辅助圆通常是以圆的定义与性质为标准但在日常练习中，还应该通过不同的题目类型有取舍的添加辅助圆再用有关直线和圆的性质概念来判断正确公共点的数量从中得出答案。

本文最主要的是深究教育的关键，学生规整信息的思维。对于比较散乱零碎的信息在解题过程中的整理和面对题目的规律不要急于确认也不要否认，要以严谨的思维来整理这些散乱零碎的信息，以准确的角度对待这些散乱零碎的信息，并可以将信息进行规整和巧妙的将他们联系在一起，不按照过程就不会有所进展，这是教学的主要元素之一。

教师还需带领学生理智面对对于所知信息进行的猜测，以结果标准判定猜测的是对还是错，经过严苛论证来表示猜测的正确性，也可以通过举出相反例子来否认猜测。英国著名数学家阿蒂亚，曾获得菲尔慈奖。他说过一句名言：与别的自然科学的状况相同，数学中有些许发觉也要通过几个层次过程才可以完成，而事实证实只是最终一项。最开始时期在于识别出一些主要的真相，把它们构成详细意思的形式，并从中精选出听起来很正确的定理或公式，然后，人们用没有的经验真相来验证这个公式。其实，深究教学就是要让学生产生在切合实际场景中探究问题的体会，这种体会有利于对学生以后在数学方面的学习，同时可以使学生生成一种准确的观念。

数学中的论证题经常有自己独有的方式、多种变通的解题方法扣人心弦，而添加辅助圆解答数学题更是别开生面，兴趣深厚、方式新奇，使人受益匪浅，添加辅助圆是具有创新意识的解题过程，如果可以准确地使用它，不但可以使问题变得简易，获得精巧的方式解决，而且对深入了解数学文化的内在法则和关系、提升综合使用知识的技巧、引发学习趣味、提升学生自信、培育创新性思维逻辑能力大有增益。