双重MS-代数的正则理想

赵秀兰，陈丽娟

（1.黄河科技学院数理部，河南 郑州，450063；2.河南工程学院理学院，河南 郑州，450007）

1977年，Joe Berman将布尔代数推广到Ockham代数[1]（L；∧，∨，f，0，1），即在有界分配格上赋予一个偶自同态的一元运算f，且

布尔代数、Stone代数、de Morgan代数等是Ockham代数的子代数.作为Stone代数、de Morgan代数的共同抽象，Blyth引入MS代数[1]的概念.对MS代数做更深层次的研究，陆续产生新的扩充MS-代数，例如双重MS-代数，双重半伪补MS-代数等（详细的信息见文献[2-4]）.

对序代数结构的研究，常借助理想和滤子，是人们认识序代数-Ockham代数类的结构及同余关系的一个重要工具.文献[5]给出了双重MS-代数正则滤子同余关系的表达式；文献[6-11]以理想与滤子为工具刻画了相关Ockham代数的结构，给出了相应Ockham代数理想和滤子同余关系表达式.本文作为文献[5]的补充，讨论双重MS-代数正则理想与正则滤子的关系，丰富序代数结构的研究.

1 预备知识

定义1.1[1]设（L；∧，∨，0，1）是一个有界分配格，其上赋予一元运算o，且满足条件：

（1）（∀x∈L）x≤xoo；（2）（∀x，y∈L）（x∧y）o＝xo∧yo；（3）1o＝0.称（L；∧，∨，o，0，1）为 MS-代数.

定义 1.2[1]设（L；∧，∨，o，＋，0，1）是一个（2，2，1，0，0）型代数，且满足条件：

（1）（L；∧，∨，o，0，1）是 MS-代数；

（2）（L；∧，∨，＋，0，1）是对偶 MS-代数；

（3）（∀x∈L）xoo＝xo＋，x＋＋＝x＋o.

称（L；∧，∨，o，＋，0，1）为双重 MS-代数.

定义 1.3[12]设（L；∧，∨）是一个格，I是格 L 的子格，若 x，y∈L，y≤x∈I总有 y∈I，称子格I是格L的理想.对偶地，F是格L的子格，若x，y∈L，y≥x∈F总有y∈F，称子格F是格L的滤子.

定义 1.4[5]设（L；∧，∨，o，＋，0，1）为双重 MS-代数，F 是 L 的滤子，若 x∈F 总有x＋o∈F，则称F是L的正则滤子.

定义 1.5[1]设（L；∧，∨，o，＋，0，1）为双重 MS-代数，θ是 L 的一个格同余关系，若

则称θ是L的同余关系.

便于阐述，假定L是双重MS-代数，a，b∈L，F⊆L，用θ（F）和θlat（F）分别表示包含F的最小同余与最小格同余（即由F所生成的主同余和格主同余）.符号ConL表示L的全体同余关系构成的集合.

引理 1.1[5]设（L；∧，∨，o，＋，0，1）为双重 MS 代数，F 是 L 的正则滤子，则

引理 1.2[5]设（L；∧，∨，o，＋，0，1）为双重 MS 代数，F 是 L 的正则滤子，则

引理 1.3[5]设（L；∧，∨，o，＋，0，1）为双重 MS 代数，φ∈ConL，则

是L的正则滤子，且

2 主要定理

设（L；∨，∧，o，＋，0，1）是双重 MS-代数，I是 L 的理想，若 x∈I总有 xo＋∈I，则称 I是L的正则理想.

定理 2.1 设（L；∨，∧，o，＋，0，1）是一个双重 MS代数，I是 L 的正则理想，则

证明 引理1.1的对偶命题.详细证明请参见文献[5，定理1].

以定理2.1为基础，给出θ（I）的另一种形式的刻画.

定理 2.2 设（L；∨，∧，o，＋，0，1）是一个双重 MS 代数，I是 L 的正则理想，则

证明 引理1.2的对偶命题.详细证明请参见文献[5，定理2].

推论 2.1 设（L；∨，∧，o，＋，0，1）是一个双重 MS-代数，φ∈ConL，则 kerφ 是 L 的正则理想且

证明 引理1.3的对偶命题.详细证明请参见文献[5，定理3].

设L是双重MS-代数，对于L的正则滤子F和正则理想I，记集合

显然，I0，F＋分别为L的滤子和理想.下面，进一步探讨正则滤子F和正则理想I的关系.

定理 2.3 设（L；∨，∧，o，＋，0，1）是一个双重 MS-代数，又设 I及 F 分别是 L 的正则理想与正则滤子，则

（1）I0是L的正则滤子；（2）F＋是L的正则理想.

证明 （1）显然，I0为L的滤子.设x∈I0，则∃i∈I，使得x≥io．结合双重MS代数的运算性质，x＋o≥io＋o＝（io＋）o.由正则理想的定义知，io＋∈I.又有 I0的定义得，x＋o∈I0，所以I0是L的正则滤子.

（2）显然，F＋为 L 的理想.设 x∈F＋，则∃a∈F 且 a＋o∈F，使得 x≤a＋.结合双重 MS代数的运算性质，xo＋≤a＋o＋＝（a＋o）＋.从而 xo＋∈F＋，所以 F＋是 L 的正则理想.

设（L；∨，∧，o，＋，0，1）是一个双重 MS-代数，又设 I及 F 分别是 L 的正则理想与正则滤子，按照定理2.3定义的Io，F＋，正则理想I与正则滤子F之间建立下列等式关系.

定理 2.4 （1）Io＋＝I；（2）F＋o＝F.

证明（1）由定理 2.3 知，Io＋为 L 的正则理想.设 x∈Io＋，则∃i∈Io，j∈I，使得 x≤i＋，i≥jo．从而 x≤jo＋.又因 I是 L 的正则理想，则 jo＋∈I，于是 x∈I，因此 Io＋⊆I.

另一方面，设 x∈I，由正则理想的定义知，xo＋∈I.由 I0定义得，xo∈Io，易得 xo＋∈Io＋，又因 x≤xoo＝xo＋，所以 x∈Io＋，故 I⊆Io＋.

综上所述，Io＋＝I

（2）由定理 2.3 知，F＋o为 L 的正则滤子.设 x∈F＋o，则∃i∈F＋，j∈F，使得 x≥io，i≤j＋.从而 x≥j＋o.又因 j＋o∈F，于是 x∈F，因此 F＋o⊆F.

另一方面，设 x∈F，则 x＋o∈F.又因 x≥x＋o＝x＋＋，所以 x∈F＋o，故 F⊆F＋o.

综上所述，F＋o＝F.

设L是双重MS-代数，记I（L），F（L）分别表示L的理想和滤子构成的集合，NI（L），NF（L）分别表示L的正则理想和正则滤子构成的集合，则有下列定理.

定理 2.5 设（L；∨，∧，o，＋，0，1）是一个双重 MS-代数，

（1）NI（L）是I（L）的子格；

（2）NF（L）是 F（L）的子格.

证明（1）令I1，I2∈NI（L），下证I1∧I2，I1∨I2∈NI（L）.

设x∈I1∧I2，则x∈I1，x∈I2.又因I1，I2∈NI（L），故xo＋∈I1且xo＋∈I2.故xo＋∈I1∧I2，所以，I1∧I2∈NI（L）

再令 x∈I1∨I2，由文献[12]知，存在 i1∈I1，i2∈I2，使得 x≤i1∨i2.又由文献[1]中双重MS-代数的运算性质得，又因因此xo＋∈I1∨I2，所以I1∨I2∈NI（L）定理得证.

（2）和（1）类似的方法，可证 NF（L）是 F（L）的子格.

对于L的正则理想集NI（L）和正则滤子集NF（L）之间满足下列定理.

定理2.6NI（L）≅NF（L）

证明定义映射α:NI（L）→NF（L）和映射β:NF（L）→NI（L），使得

设I1，I2∈NI（L），F1，F2∈NF（L），由定理2.5知，

又由定理2.5知，

下证 α（I1∧I2）＝α（I1）∧α（I2），α（I1∨I2）＝α（I1）∨α（I2）.

设 x∈α（I1∧I2），则存在 i∈I1∧I2，使得 x≥io.由于 i∈I1，i∈I2，因此 x∈α（I1）且x∈α（I2），故 x∈α（I1）∧α（I2），所以 α（I1∧I2）⊆α（I1）∧α（I2）.

另一方面，设 x∈α（I1）∧α（I2），则有 x∈α（I1）且 x∈α（I2）.于是存在 i1∈I1，i2∈I2，使得于是又因 i1∧i2≤i1∈I1，i1∧i2≤i2∈I2，故 i1∧i2∈I1∧I2，所以 x∈α（I1∧I2），因此 α（I1）∧α（I2）⊆α（I1∧I2）.所以 α（I1∧I2）＝α（I1）∧α（I2）.

设 x∈α（I1∨I2），则存在 i∈I1∨I2，从而存在 a∈I1，b∈I2，有 i≤a∨b，使得 x≥io.由于 ao∈α（I1），bo∈α（I2），故 x∈α（I1）∨α（I2），即 α（I1∨I2）⊆α（I1）∨α（I2）.

另一方面，设 x∈α（I1）∨α（I2），则存在 i1∈α（I1），i2∈α（I2），有 x≥i1∧i2.由 α（I1），α（I2）的定义知，分别存在 j1∈I1，j2∈I2，使得从而又因 j1∨j2∈I1∨I2，于是 x∈α（I1∨I2），所以 α（I1）∨α（I2）⊆α（I1∨I2）.因此 α（I1）∨α（I2）＝α（I1∨I2）.

同理可得 F1∧F2，F1∨F2∈NF（L），有

由定理2.4知，β（α（I））＝I，α（β（F））＝F，所以NI（L）≅NF（L）.

3 结束语

本文在文献[5]的基础上，利用双重MS-代数运算及同余性质，论证了获得双重MS-代数正则理想集和正则滤子集是同构的结论.这一结论帮助我们了解双重MS-代数的代数结构.